Vietscholar forum - Xem bài viết đơn

~~BerkBear~~ · #4 (**permalink**) 08-22-2010

Bài viết của Tao về FL:

Chau Ngo đã thực hiện nhiều đóng góp lớn đối với chương trình Langland, lãnh vực góp phần nghiên cứu biểu diễn automorphic của một nhóm Lie reductive G thông qua nhóm đối ngẫu Langland của nó ${{}^L G}$ , theo cách tương tự lý thuyết biểu diễn của một nhóm Abelian compact địa phương được xác định bởi đối ngẫu Pontriagin ${\hat G}$ . Vì vậy chương trình Langland có thể coi là sự suy rộng của giải tích Fourier cho các nhóm không Abel. Ví dụ, công thức tổng Poisson,

có một suy rộng ngay lập tức trở thành công thức Vết của Selberg và các suy rộng của nó (ví dụ công thức vết Arthur-Selberg) cái mà liên hệ tổng của các orbital integral trên các conjugacy class với tổng trên các biểu diễn tự đẳng cấu của G (Theo đối ngẫu Langland thì được xác định bởi ${{}^L G}$ ).
Công thức tổng Poisson có liên hệ gần gũi với tính chất hàm tử của biến đối Fourier: ${f \mapsto \hat f}$ : mọi đồng cấu ${\phi: G \rightarrow H}$ của các nhóm Abelian Compact địa phương cảm sinh đồng cấu đối ngẫu ${\phi^*: \hat H \rightarrow \hat G}$ trên các nhóm đối ngẫu Pontriagin, và người ta có thể phát biểu công thức tổng Poisson như là hệ quả của khẳng định rằng "kéo lùi bởi đồng cấu ${\phi}$ trở thành pushforward bởi ${\phi^*}$ sau khi lấy biến đổi Fourier. Như tôi hiểu, tính hàm tử Langland là suy rộng không giao hoán cho tính hàm tử Fourier này. Tuy nhiên, khái niệm đẩy và kéo trở nên rất phức tạp trong noncommutative world vì người ta làm việc trên những thứ như là các lớp liên hợp và biểu diễn, hơn là với các phần tử của nhóm.Người ta có thể định nghĩa các khái niệm này tương đối dễ dàngở mức độ địa phương, nhưng để gắn các thứ lại ở mức độ toàn cục (ví dụ khi làm việc trên vành adele) theo cách mà công thức Vết vẫn còn tương thích thì yêu cầu đến bổ đề cơ bản, cái mà là một mục tiêu lớn của chương trình Langland (vì nó làm cho công thức vết trở nên hữu dụng hơn rất nhiều, đặc biệt là ứng dụng cho lý thuyết số. Năm 2008 Ngo chứng minh bổ đề này ở mức độ tổng quát dựa trên vài trường hợp đặc biệt và các suy luận truớc đây bởi các nhà toán học khác (bao gồm cả bài báo nổi tiếng của Laumon và Ngo truớc kia) và cũng như sử dụng một công cụ mới từ hình học và vật lý toán. Hiển nhiên, quan sát của Ngo là tổng trên các lớp liên hợp xuất hiện trong công thức Vết có thể được phiên dịch dưới dạng các dữ liệu hình học ứng với các phân thớ này. Đây là một mối liên hệ sâu sắc mà không chỉ kéo theo bổ đề cơ bản mà còn cho một hiểu biết tốt hơn về chương trình Langland.
__________________________________________________ __________________________

Bình luận: Terry không phải là một algebraic geometer/representation theorist, nên cách nhìn nhận của ông rất là "commutative". Tôi sẽ đưa thêm một số viewpoint từ các lãnh vực khác.

We thank BerkBear for this original paper:
Mê Nấm (08-22-2010), nielsabel1 (08-24-2010)