Hỏi toán

**dante** · #1 (**permalink**) 07-01-2009

Em đang đọc paper, có 1 phần về representation theory em không biết gì về phần này. Có 1 định lý nói rằng representation của 1 semisimple Lie algebra thì bảo toàn Jordan decomposition.
Xét 1 biểu diễn V của $sl_2$ , trong cơ sơ chính tắc của $sl_2$ thì có 1 ma trận H là diagonalizble. Tại sao suy ra được , từ tính chất bảo toàn Jordan decomposition, action của H trên V là diagonalizable??
Xét tổng quát 1 biểu diễn V của $sl_n,$ tại sao action của 1 diagonal matrix trong $sl_n$ lại luôn diagonalizable?

~~Whitebear.~~ · #2 (**permalink**) 07-01-2009

À, đây là một tính chất quan trọng của đại số Lie nửa đơn. Trước hết, trong đại số LIe nửa đơn thì sử dụng ad representation thì ta phân tích thành semisimple part, nilpotent part.
[tex]g=g_ss \oplus g_nil[\tex]

Có một bổ đề nói rằng, nếu ảnh của X trong gl(V) là nilpotent thì ad(X) cũng là nilpotent trong gl(g) (engel theorem). Do đó phần ss sẽ bị ánh xạ hoàn toàn vào trong phần ss của gl(V), vì nếu nó dính đến một chút nilpotent thì ta tách cái phần nilpotent đấy ra (dưới dạng đa thức, vì phần nilpotent sẽ bị kill sau hữu hạn lũy thừa, còn ss sẽ stable), và sau dó ta kéo ngược lại g, và vô lý.
Trực quan hình học đằng sau tất cả lý thuyết: Vì phần nil và ss có thể yields dưới dạng đa thức, cho nên dưới đồng cấu đại số Lie, nó được bảo toàn.

Cụ thể xem tạm humphrey chương 1-2.

**Khoi** · #3 (**permalink**) 07-01-2009

dante: Tại sao suy ra được , từ tính chất bảo toàn Jordan decomposition, action của H trên V là diagonalizable??

Trên trường đóng đại số, ma trận là semisimple khi và chỉ khi là diagonalizable. Do tính chất bảo toàn phân tích Jordan(-Chevalley), ảnh của H (diagonalizable=semisimple) là semisimple=digonalizable, tức là, action của H trên V là diagonalizable.