Điểm hữu tỷ của đa tạp đại số trên trường hữu hạn - Page 3

**Le Dang Thi NGUYEN** · #21 (**permalink**) 07-03-2009

Sau khi trình bầy lại câu chuyện của Frobenius, tôi mới xin phép trả lời ngắn gọn ý cuối cùng của dante, tại sao ta lại phải chọn geometric Frobenius khi sau này xét lên trường địa phương. Nó gồm 2 mục đích, thứ nhất là tính đẳng biến Galois (sẽ trình bầy sau), và thứ 2 là do tác động của geometric Frobenius lên Tate twist như trong bài tập nhỏ ở trên, cộng với absolute Purity của Ofer Gabber, ta sẽ được đồng dư thức như mong đợi ở bài introduction khi chuyển lên trường địa phương.

**dante** · #22 (**permalink**) 07-04-2009

	Trích:	Le Dang Thi NGUYEN
	Bây giờ ta xét nhóm căn của đơn vị $\mu_{\ell^n}$ , lúc này ta sẽ có tác động của Frobenius lên nó, và định nghĩa Tate twist như là $\mathbb{Q}_{\ell}(1) = lim_{\leftarrow} \mu_{\ell^n} \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}$ , và tổng quát lên $\mathbb{Q}_{\ell}(n) = \mathbb{Q}_{\ell}(1)^{\otimes n}$ , nếu n dương, nếu n âm thì ta lấy đối ngẫu thông qua Hom.

Em hỏi lại chút cho chắc : Ta xét căn đơn vị bậc $\ell^n-1$ chứ nhỉ, vì các số của trường $F_{\ell^n}$ là căn đơn vị bậc $\ell^n-1$ ??

**thichhoctoan** · #23 (**permalink**) 07-04-2009

Mấy anh Frobenius này dễ làm chóng mặt lắm. Để khỏi nhầm bạn nghĩ đến trường hợp đường thẳng trên trường $\bar F_p$. Bạn cần một đồng cấu $\bar F_p$ -đại số $\phi$ từ $\bar F_p[t]$ vào chính nó. Thực ra lúc đó bạn không có lựa chọn nào khác là $\phi(\alpha)=\alpha$ với $\alpha \in \bar F_p$ và $\phi(t)=t^p$ . Đồng cấu này gửi điểm tọa độ $x$ lên điểm tọa độ $x^p$ và cảm sinh ra geometric Frobenius lên đối đồng điều.

@Thi : anh không thấy cái thẻ tex ở đâu cả.

~~Whitebear.~~ · #24 (**permalink**) 07-04-2009

@hòathuong: ANh thay cái $ x^2=y$ bằng [te x]x^2=y[/te x] thì công thức toán sẽ hiện lên thôi. EM đã edit lại bài cho anh rồi.

**Le Dang Thi NGUYEN** · #25 (**permalink**) 07-04-2009

Như anh thichhoctoan đã phân tích, ta hoàn toàn có thể làm 1 ví dụ về đường thẳng affine để thấy rõ hơn sự khác biệt giữa các Frobenius.

Xét $X = Spec \mathbb{F}_p[t] = \mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_p}$ , vậy thì $\overline{X} = Spec \overline{\mathbb{F}}_p[t]$ . Ta xét 1 đa thức $f(t) = \sum_i a_i t^i$ , với $a_i \in \overline{\mathbb{F}}_p$ .

Đồng cấu Frobenius số học tương ứng với việc ta gửi hệ số của đa thức $a_i$ lên $a_i^p$ .

Đồng cấu Frobenius hình học gửi $a_i$ vào $a_i^{1/p}$ .

Đồng cấu Frobenius tương đối (nhớ lại là nó giữ nguyên hệ số của đa thức) sẽ gửi biến $t$ lên $t^p$ do đại số hàm của đường thẳng affine là $\mathbb{F}_p[t]$ .

Đồng cấu Frobenius tuyệt đối tương ứng với việc ta nâng cả hệ số $a_i$ lẫn biến $t$ lên lũy thừa $p$ , do nó tác động lên đại số hàm $\overline{\mathbb{F}}_p[t]$ .

**Le Dang Thi NGUYEN** · #26 (**permalink**) 07-05-2009

Thư thả hôm nay tôi muốn đề cập lên đây vấn đề phân tích đường chéo trong nhóm Chow của Bloch. Trên này có 1 số bạn đang làm về lý thuyết giao, nên chắc hẳn đã nắm vững thành thạo về nhóm Chow. Tôi sẽ không đề cập tới lý thuyết giao, mà đưa ra 1 định nghĩa khá hình thức của Quillen về nhóm Chow này. Trước hết ta thống nhất 1 số ký hiệu, cho 1 lược đồ $X$ trên 1 trường $k$ bất kỳ tôi sẽ viết $X^{(i)}$ để ám chỉ tập các điểm $x \in X$ sao cho $codim ( x) = i$ . Điều này xem có vẻ lạ tai, nhưng ta nhớ lại khái niệm điểm trong hình học đại số, số chiều của chúng được định nghĩa như chiều Krull của vành địa phương tại đó. Ta định nghĩa nhóm Chow bậc $i$ của $X$ như là

$CH^i(X) = Coker (\bigoplus_{x \in X^{(i-1)}} k(x)^{\times} \rightarrow \bigoplus_{x \in X^{(i)}} \mathbb{Z})$

Tất nhiên ta phải hiểu cái ánh xạ ở trên $\bigoplus_{x \in X^{(i-1)}} k(x)^{\times} \rightarrow \bigoplus_{x \in X^{(i)}} \mathbb{Z}$ có nghĩa là gì? Đây được gọi là cấu xạ ước (divisor map). Định nghĩa này tương đương với định nghĩa thông thường của nhóm Chow trong Fulton, ta lấy nhóm tự do abel sinh bởi các lược đồ con nguyên tố (prime subschemes) của đối chiều $i$ và chia đi tương đương hữu tỷ, tức là 2 lược đồ con được xem là sai khác 1 tương đương hữu tỷ, nếu hiệu hình thức của chúng có dạng tổng của các hàm số khác không đến từ trường hàm của lược đồ con có đối chiều $i-1$ .

Quan điểm nhìn nhận hình thức thế này có 1 tiện lợi là dễ nhớ, chẳng hạn nếu $Z \subset X$ là 1 lược đồ con đóng có số đối chiều thuần (pure codimension) $codim( Z) = c$ vậy thì từ dẫy khớp ngắn của nhóm abel tự do

$0 \rightarrow \bigoplus_{x\in Z^{(i-c)}} \mathbb{Z} \rightarrow \bigoplus_{x \in X^{(i)}}\mathbb{Z} \rightarrow \bigoplus_{x \in (X-Z)^{(i)}}\mathbb{Z} \rightarrow 0$

và do đối hạch là 1 hàm tử khớp phải, ta thu được dẫy khớp gọi là dẫy khớp địa phương hóa của nhóm Chow

$CH^{i-c}(Z) \rightarrow CH^{i}(X) \rightarrow CH^{i}(X-Z) \rightarrow 0$ .

Câu chuyện về nhóm Chow của chúng ta sẽ càng trở nên thú vị, nếu chúng ta bắt đầu tập trung chuyển nội dung toán học lên 1 khái niệm điểm rất quan trọng, đó là điểm tổng quát. Để chặt chẽ bạn đọc có thể nghiên cứu thêm EGA, nhưng tôi chỉ quan tâm tới 1 loại lược đồ có tính chất đẹp, đó là noetherian và integral (nguyên) (tức là bất khả quy và tối giản (bó cấu trúc không có các phần tử nilpotent)), thậm chí sau này do mục đích nghiên cứu của chúng ta là số học của đa tạp, nên chúng ta sẽ còn đòi hỏi mạnh hơn nữa, bắt buộc tính nguyên phải ổn định khi chuyển lên bao đóng đại số, tức là lược đồ của chúng ta thậm chí phải nguyên hình học. Nhưng đây là câu chuyện sẽ nói ở 1 dịp khác.

Ta nhớ lại điểm tổng quát tức là điểm mà mọi tập mở đều chứa nó, lược đồ nguyên, tức là mỗi tập mở affine sẽ có dạng $U = Spec (A)$ , với $A$ là 1 vành nguyên. Do đó điểm tổng quát là điểm mà tại đó vành địa phương chính là giới hạn xuôi trên toàn bộ tập mở của lược đồ, tức chính là trường hàm $k(X)$ , ta thấy ngay điểm tổng quát của ta sẽ ứng với 1 cấu xạ $\eta: Spec k(X) \rightarrow X$ .

Giải thích lại quá trình này bằng cách định nghĩa hình thức thông qua hàm tử đối hạch, ta nhận được nhóm Chow trên thớ tổng quát

$CH^i(X_{\eta}) = CH^i(X\otimes_k k(X)) = lim_{\rightarrow U \subset X}CH^i (X \times_k U)$

Tính chất thú vị này của nhóm Chow sau này được tổng quát thành 1 tính chất chung cho khái niệm tiền bó trung chuyển (presheaf with transfer) trong công trình của Voevodsky, nhưng tôi không muốn làm loãng topic và dấu đi mất bản chất toán học dưới ngôn ngữ quá hình thức. Hơn nữa lý thuyết của Voevodsky rất cồng kềnh, lại chưa có tác dụng nhãn tiền với mục đích nghiên cứu số học, nên ta tạm gác lại sang 1 bên.

Ông Bloch chỉ ra cho chúng ta 1 tính chất quan trọng về việc phân tích đường chéo $\Delta_X \subset X \times_k X$ . Ông ấy nói rằng, nếu giả sử nhóm Chow của các 0-chu trình (cycles) thỏa mãn $CH_0(X \times_k \Omega)_{\mathbb{Q}} = \mathbb{Q}$ , trong đó $\Omega$ là miền phổ dụng Weil (tức là $\Omega = \overline{k(t_0,t_1,t_2,\dots)}$ , vậy thì đường chéo $\Delta_X$ sẽ sở hữu 1 phân tích

$[\Delta_X] = [X \times x] + \Gamma,$

trong đó $x \in X$ là 1 điểm đóng và $\Gamma \in CH^{dim(X)}(X\times X)_{\mathbb{Q}}$ và có giá trên $D \times X$ với $D$ là 1 ước (divisor) của $X$ .

Đây là 1 điểm quan trọng cho các lập luận sau này, bởi nhóm Chow liên hệ với đối đồng điều étale thông qua cấu xạ chu trình, cũng như mỗi chu trình trong nhóm Chow sẽ tạo ra 1 tương ứng (correspondence) tác động lên đối đồng điều.

Chứng minh định lý trên của Bloch là 1 điều thú vị coi như là 1 bài tập nhỏ, thực tế ta chỉ cần sử dụng pullback cảm sinh trên nhóm Chow từ điểm tổng quát $\eta: Spec k(X) \rightarrow X$ , và sau đó áp dụng dẫy khớp địa phương hóa.

**Le Dang Thi NGUYEN** · #27 (**permalink**) 07-06-2009

	Trích:	dante
	Em hỏi lại chút cho chắc : Ta xét căn đơn vị bậc $\ell^n-1$ chứ nhỉ, vì các số của trường $F_{\ell^n}$ là căn đơn vị bậc $\ell^n-1$ ??

Không, ta xét $\mu_{\ell^n} = \mu_{\ell^n}(\overline{k}) = \{a \in \overline{\mathbb{F}}_q \quad | \quad a^{\ell^n} = 1\}$ . Trong đó $q = p^m$ (trường với q phần tử) và $\ell \neq p$

**Le Dang Thi NGUYEN** · #28 (**permalink**) 07-06-2009

Tôi muốn post lên đây 1 vài ví dụ nhỏ liên quan đến cấu trúc Tate (như đã đề cập ở 1 post trước) để cùng thảo luận. Ta hãy bắt đầu từ 1 ví dụ tầm thường (mặc dù khi mới học đối đồng điều étale thì ví dụ này cũng không tầm thường lắm), đó là không gian xạ ảnh $\mathbb{P}^n$ trên 1 trường hữu hạn $k = \mathbb{F}_q$ . Kiến thức hình học xạ ảnh cơ bản nói rằng không gian xạ ảnh không gì khác hơn là 1 không gian affine $\mathbb{A}^{n+1}$ bỏ đi gốc tọa độ và chia quan hệ sai khác bởi 1 phép nhân với 1 vô hướng khác 0. Do đó số điểm $\mathbb{F}_q$ của không gian xạ ảnh là

$|\mathbb{P}^n(k)| = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} = 1+q+q^2+\dots + q^n$

Vậy bây giờ ta muốn tính toán bằng cách sử dụng công thức vết của Grothendieck thì sẽ phải làm như thế nào? Trước hết ta phải biết cách tính đối đồng điều của không gian xạ ảnh, mà quan trọng ở đây là cấu trúc Tate của đối đồng điều chứ không phải là số Betti. Đầu tiên ta xét dẫy khớp Kummer (lý thuyết Kummer)

$1 \rightarrow \mu_m \rightarrow \mathbb{G}_m \rightarrow \mathbb{G}_m \rightarrow 1$

trong đó ta định nghĩa $\mu_m$ như là bó hạch của cấu xạ bó $\mathbb{G}_m \rightarrow \mathbb{G}_m$ cho bởi phép nhân với 1 số $m$ . Từ dẫy khớp này ta thu được 1 dẫy khớp dài của đối đồng điều cho đường thẳng affine $\mathbb{A}^1$ . Đến đây bạn phải nắm được 2 điều, thứ nhất là định lý triệt tiêu của Artin, nói rằng với mọi bó abel trên étale topo thì đối đồng điều của 1 lược đồ affine sẽ triệt tiêu nếu bậc của nó vượt quá số chiều. Như vậy ta chỉ còn quan tâm tới $H^1_{et}(\mathbb{A}^1_{\overline{k}},\mu_m)$ , là đối hạch của cấu xạ phép nhân với $m$ trên không gian lắt cắt toàn cục của đường thẳng affine với hệ số bó $\mathbb{G}_m$ .

Nhưng không gian này trên topo étale cũng trùng với topo Zariski nên $H^0(\mathbb{A}^1_{\overline{k}},\mathbb{G}_m) = \overline{k}[t]^{\times} = \overline{k}^{\times}$ . Vậy đối hạch của cấu xạ nhân với m phải bằng 0, do phép nhân là 1 toàn ánh.

Từ đó ta có thể sử dụng công thức Künneth để chứng minh $H^i(\mathbb{A}^n_{\overline{k}},\mu_m) = 0, \forall i \geq 1$ . Thật thế, trên trường thì công thức Künneth cho đối đồng điều étale khá đơn giản, nó trùng với công thức Künneth bình thường trong topo đại số, nhưng chú ý là trên 1 base scheme và bó bất kỳ, thì công thức này rất phức tạp, ta thậm chí phải sử dụng hàm tử siêu dẫn xuất (hyper derived functor).

Mỗi không gian xạ ảnh $\mathbb{P}^n$ , ta có thể xem như là 1 không gian affine $\mathbb{A}^n$ cùng với 1 siêu mặt ở vô cùng $\mathbb{P}^{n-1}$ , giờ ta có thể áp dụng purity (thuần chủng) để suy ra

$H^i(\mathbb{P}^n_{\overline{k}}, \mu_m) \simeq H^{i-2}(\mathbb{P}^{n-1}_{\overline{k}}, \mu_m(-1))<br />$

Từ đó bằng quy nạp ta suy ra dễ dàng đối đồng điều bậc lẻ của không gian xạ ảnh sẽ triệt tiêu, và đối đồng điều bậc chẵn $H^{2i}(\mathbb{P}^n_{\overline{k}},\mu_m) \simeq \mu_m(-i)$ . Giờ ta thay $m$ bởi $\ell^m$ , và lấy giới hạn xạ ảnh trên $m$ để thu được đối đồng điều l-adic như là

$H^{2i}(\mathbb{P}^n_{\overline{k}},\mathbb{Q}_{\el l}) \simeq \mathbb{Q}_{\ell}(-i)$

Công thức vết giờ áp dụng cùng với tác động của Frobenius hình học lên cấu trúc Tate như là $q^i$ suy ra số điểm hữu tỷ của không gian xạ ảnh đúng như mong đợi.

Ta có thể thảo luận tiếp 1 vài ví dụ khó hơn theo 1 vài mạch như sau:

(1) Đếm điểm của 1 đường cong có kỳ dị, chẳng hạn ta muốn đếm điểm bằng pp đối đồng điều của 1 đường cong nút (nodal curve). Xin xem thêm topic của bạn dante về đếm đường cong phẳng, để tham khảo 1 số công thức hữu ích về giống của đường cong nút tại [Only registered and activated users can see links. ]. Các bạn có thể nghĩ việc tính toán đối đồng điều của đường cong sau khi đã chuẩn hóa (normalization).

(2) Các ví dụ về đường cong mà đối đồng điều không phải là cấu trúc Tate thuần túy, chẳng hạn ta đã biết Tate module của 1 đường cong elliptic khá là phức tạp hơn ta nghĩ đơn thuần chỉ là $T_{\ell}(E) \simeq \mathbb{Z}_{\ell} \oplus \mathbb{Z}_{\ell}$ .

**Le Dang Thi NGUYEN** · #29 (**permalink**) 07-08-2009

Tôi viết 1 bài ngắn vài dòng chỉ để đưa ra khái niệm dẫy lọc đối đẳng cấp (coniveau filtration), được đưa ra bởi Grothendieck trong bộ Dix exposes sur la cohomolgie des schemas, nhằm phát biểu lại giả thuyết Hodge và giả thuyết Tate mở rộng. Ông định nghĩa đối đẳng cấp trên đối đồng điều l-adic, nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng các lý thuyết khác như đối đồng điều Betti hay De Rham, nếu lược đồ của ta định nghĩa trên trường phức.

Định nghĩa: Cho $X/k$ là 1 lược đồ trên 1 trường $k$ bất kỳ, ta định nghĩa 1 dẫy lọc

$N^pH^i_{et}(X\times_k \overline{k},\mathbb{Q}_{\ell}) = \bigcup_{codim(Z) \geq p}Im ( H^i_{\overline{Z}}(X\times_k \overline{k},\mathbb{Q}_{\ell}) \rightarrow H^i_{et}(X\times_k \overline{k},\mathbb{Q}_{\ell}))$

Cùng với dẫy lọc này, ông ta có thể viết được 1 dẫy phổ xuất phát từ dẫy lọc đối đẳng cấp, nên ta gọi là dẫy phổ đối đẳng cấp:

$E^{p,q}_1 = \bigoplus_{x \in X^{(p)}}H^{q-p}(\overline{k(x)},\mathbb{Q}_{\ell}(-p)) \Longrightarrow H^{p+q}_{et}(\overline{X},\mathbb{Q}_{\ell})$

Có thể chứng minh dẫy phổ này trong trường hợp đối đồng điều De Rham, thì $E_2$ -term của nó sẽ trùng $E_2$ -term với dẫy phổ Hodge to De Rham (1 kết quả của Bloch-Ogus).

Xin tạm dừng bài viết đột ngột tại đây, mời bạn đọc tham gia đọc và thảo luận tiếp tại topic về dẫy phổ ở [Only registered and activated users can see links. ]. Bởi lý do chúng ta đang mong chờ các Phật tử và La Hán bên Topo đại số sẽ lên diễn đàn đọc kinh kệ advanced này giúp đỡ chúng ta thấu ngộ đạo lý.

**Le Dang Thi NGUYEN** · #30 (**permalink**) 07-22-2009

	Trích:	thichhoctoan
	Mấy anh Frobenius này dễ làm chóng mặt lắm. Để khỏi nhầm bạn nghĩ đến trường hợp đường thẳng trên trường $\bar F_p$. Bạn cần một đồng cấu $\bar F_p$ -đại số $\phi$ từ $\bar F_p[t]$ vào chính nó. Thực ra lúc đó bạn không có lựa chọn nào khác là $\phi(\alpha)=\alpha$ với $\alpha \in \bar F_p$ và $\phi(t)=t^p$ . Đồng cấu này gửi điểm tọa độ $x$ lên điểm tọa độ $x^p$ và cảm sinh ra geometric Frobenius lên đối đồng điều. @Thi : anh không thấy cái thẻ tex ở đâu cả.

Anh thichhoctoan, em có 1 mẹo nhỏ để gõ LaTex trên diễn đàn. Anh thử chức năng quote (trích dẫn) lại 1 số bài trong đó đã hiển thị công thức toán, nó sẽ hiện lên cặp thẻ lệnh tex.