Như đã hứa tôi xin phép khởi động viết 1 bài mang tính học thuật về 1 bài toán nhỏ trong 1 hướng phát triển gần đây về số học hiện đại, điểm hữu tỷ của đa tạp đại số trên trường hữu hạn.
Motivation cho bài toán này bắt nguồn từ 1 định lý phát biểu khá sơ cấp trong số học, có thể xem cuốn Arithmetic của Serre, đó là định lý Chevalley-Warning về nghiệm của đa thức trên trường hữu hạn.
Theorem (Chevalley-Warning). Cho 1 đa thức thỏa mãn , vậy thì tập các không điểm của đa thức này sẽ thỏa mãn tính chất đồng dư
Định lý Chevalley-Warning có 1 giải thích hình học là như sau, nếu gọi là 1 siêu mặt (hypersurface) trong không gian xạ ảnh có bậc là , vậy thì số điểm hữu tỷ (điểm mà tại đó nhận giá trị trên trường thặng dư trùng với trường định nghĩa) sẽ thỏa mãn đồng dư thức
Examples: Xét 1 siêu mặt bậc 2 trong mặt phẳng xạ ảnh, từ phương trình bậc 2, ta có thể xem siêu mặt này là 1 đường thiết diện conic nếu đa thức của chúng ta trơn (nghiệm của đa thức không trùng với điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của đa thức theo các biến triệt tiêu). Hoặc nếu đa thức không trơn thì siêu mặt sẽ là suy biến của 1 đường conic, tức là giao của 2 đường thẳng.
Ở đây trường hợp suy biến hiển nhiên thú vị hơn trường hợp trơn, bởi định lý Chevalley-Warning cho phép ta nghiên cứu đồng dư thức với các đa thức có kỳ dị bất kỳ. Về sau này các bạn sẽ thấy việc tổng quát lên hình học không hề đơn giản khi đa tạp của chúng ta có kỳ dị. Quay trở lại với việc 2 đường thẳng giao nhau tại 1 điểm, ta có tác động của nhóm Galois lên siêu mặt này.
Về tác động nhóm và nhóm Galois, tôi xin phép được trích dẫn lên đây Blog cá nhân của Giáo Sư Tiến Sĩ Khoa Học Ngô Bảo Châu, các bạn có thể vào đọc các bài viết của Giáo Sư để tìm hiểu, xin xem tại [Only registered and activated users can see links. ]
Trực quan, ta có thể thấy dưới tác động của nhóm Galois, hoặc tác động là tầm thường, tức là 2 đường thẳng không suy suyển, trong trường hợp này số điểm hữu tỷ của siêu mặt sẽ phải là . Sở dĩ vậy, bởi mỗi đường thẳng trong 1 mặt phẳng xạ ảnh có thể xem như là , và trên 1 trường hữu hạn thì nó có số điểm hữu tỷ phải là (xem như 1 đường thẳng affine cộng thêm 1 điểm ở vô hạn). Do đó giao của chúng phải có điểm.
Trường hợp thứ 2 có thể xẩy ra, đó là tác động của nhóm Galois lên siêu mặt làm hoán vị 2 đường thẳng này với nhau. 1 cách trực quan, mỗi điểm hữu tỷ đều bị fixed bởi tác động của Galois, bởi nhóm Galois theo định nghĩa là các tự đẳng cấu trên bao đóng đại số và giữ nguyên . Do đó chỉ có 1 điểm hữu tỷ duy nhất trong trường hợp này, tức chính là giao của 2 đường.
Remark: Ta có thể chứng minh ví dụ trên 1 cách chặt chẽ bằng cách phân tích tác động của Frobenius hình học (geometric Frobenius), xem như là phần tử sinh của nhóm Galois, lên đối đồng điều étale của siêu mặt. Tuy nhiên tôi sẽ giới thiệu cái này vào 1 dịp khác. Bằng cách phân tích dẫy khớp Mayer-Victories, chúng ta có thể thấy ma trận của Frobenius hoặc là ma trận đơn vị, hoặc là có dạng idempotent.
Giờ chúng ta làm 1 bước trung chuyển tổng quát lên hình học đại số trừu tượng. 1 siêu mặt bậc d trong 1 không gian xạ ảnh sẽ có phân thớ chuẩn tắc (canonical bundle)
Tôi xin gợi ý bạn đọc xem thêm cuốn Hartshorne về canonical sheaf và dẫy khớp Euler. Điều này tương đương với việc đối đồng điều bó trên tô pô Zariski là tầm thường, i.e. , nếu siêu mặt của ta định nghĩa trên 1 trường đóng đại số có đặc số 0. Hiển nhiên là trên đặc số p, thì đây là 1 điều kiện mạnh. Tuy nhiên chính điều kiện này gợi mở đến giả thuyết Lang-Manin.
Trong hình học đại số, có 1 lớp các đa tạp xạ ảnh rất thú vị, đó là các đa tạp Fano, mà siêu mặt với số bậc nhỏ hơn số biến là 1 ví dụ điển hình (Các bạn có thể nghiền ngẫm 1 ví dụ về siêu mặt Fermat bậc 3 trong 1 không gian xạ ảnh 4 chiều). Trừu tượng, thì đa tạp Fano được định nghĩa như là 1 đa tạp có bó phản chuẩn tắc (anti-canonical bundle) giầu (ample). Đây là 1 khái niệm khó, khi nào có dịp, tôi sẽ quay trở lại. Bạn nào bên hình học vi phân, có thể xem đa tạp Fano như là các đa tạp Hyperkähler (tôi không chắc chắn liệu đây có phải là 1 so sánh chính xác).
Quay trở lại với đồng dư thức trên, điều này khẳng định, các phương trình thuần nhất có số bậc nhỏ hơn số biến, phải có ít nhất 1 nghiệm nguyên trên trường hữu hạn. Câu hỏi đặt ra, liệu nếu ta có 1 hệ hữu hạn các phương trình như thế kết quả có còn đúng không, câu trả lời là yes, đây là nội dung của định lý Ax-Katz, tuy nhiên ta sẽ không bàn tới ở đây, mặc dù đến nay việc tìm kiếm 1 chứng minh hình học cho định lý Ax-Katz vẫn chưa ngưng.
Về mặt hình học ta quay lại với Fano, trên trường đóng đại số đặc số 0, đa tạp Fano thỏa mãn tính chất
Điều này được supported bởi định lý Kodaira-Vanishing (có thể xem Hartshorne), nói rằng 1 phân thớ đường thẳng (line bundle) sẽ giầu (ample) nếu và chỉ nếu đối đồng điều bó với hệ số là tích Tensor triệt tiêu. Theo định nghĩa đa tạp Fano nhắc bên trên thì là giầu, do đó thay vào ta có sự triệt tiêu của đối đồng điều như trên. Điều này cũng rất gần với trực quan thực tế, đó là các đa tạp Fano trông rất từa tựa với các không gian xạ ảnh.
Hiển nhiên trên đặc số p, định lý triệt tiêu Kodaira sai, tuy nhiên cảm nhận hình học về đa tạp Fano, cho phép người mạnh dạn đề ra giả thuyết gọi là giả thuyết Lang-Manin (proved by Esnault): Tập hợp các điểm hữu tỷ trên trường hữu hạn của 1 đa tạp Fano trơn luôn khác rỗng.
Đây là 1 định lý mạnh, nó cho phép ta nói được về nghiệm của lớp các phương trình khá phức tạp hơn so với trường hợp 1 đa thức thuần nhất, hoặc 1 hệ các đa thức. Nhưng xin nhấn mạnh chữ "trơn" trong định lý trên, đây là 1 điểm yếu của định lý, cũng như trăn trở khó khăn trong việc tìm kiếm 1 chứng minh hình học cho định lý Ax-Katz-Chevalley-Warning, do kỳ dị trên đặc số p khó hơn kỳ dị trên đặc số 0, nơi mà ta có thể giải kỳ dị theo Hironaka bằng 1 dẫy các blow-up các lược đồ con trơn.
Bài sau tôi sẽ đi vào chi tiết chứng minh định lý này, và sau đó là 1 số hướng phát triển mở rộng. Để nắm được chứng minh, chúng ta phải trang bị đủ kiến thức về nhóm Chow và étale cohomology. Sau đó tôi sẽ cố gắng phân tích các arguments cũng như lý do việc chuyển từ trường hữu hạn lên trường địa phương. Ở đây kiến thức về Galois theory là vô cùng cần thiết, không có nó, gần như chúng ta không thể đi tiếp, vì vậy tôi strongly recommend các bạn nên đọc và nghiền ngẫm blog cá nhân của [Only registered and activated users can see links. ].
Examples: Xét 1 siêu mặt bậc 2 trong mặt phẳng xạ ảnh, từ phương trình bậc 2, ta có thể xem siêu mặt này là 1 đường thiết diện conic nếu đa thức của chúng ta trơn (nghiệm của đa thức không trùng với điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của đa thức theo các biến triệt tiêu). Hoặc nếu đa thức không trơn thì siêu mặt sẽ là suy biến của 1 đường conic, tức là giao của 2 đường thẳng.
Trực quan, ta có thể thấy dưới tác động của nhóm Galois, hoặc tác động là tầm thường, tức là 2 đường thẳng không suy suyển, trong trường hợp này số điểm hữu tỷ của siêu mặt sẽ phải là . Sở dĩ vậy, bởi mỗi đường thẳng trong 1 mặt phẳng xạ ảnh có thể xem như là , và trên 1 trường hữu hạn thì nó có số điểm hữu tỷ phải là (xem như 1 đường thẳng affine cộng thêm 1 điểm ở vô hạn). Do đó giao của chúng phải có điểm.
Trường hợp thứ 2 có thể xẩy ra, đó là tác động của nhóm Galois lên siêu mặt làm hoán vị 2 đường thẳng này với nhau. 1 cách trực quan, mỗi điểm hữu tỷ đều bị fixed bởi tác động của Galois, bởi nhóm Galois theo định nghĩa là các tự đẳng cấu trên bao đóng đại số và giữ nguyên . Do đó chỉ có 1 điểm hữu tỷ duy nhất trong trường hợp này, tức chính là giao của 2 đường. r
Em chưa hiểu tại sao tác động của nhóm Galois lên cặp đường thẳng (pair of lines ) lại chỉ có thể là 1 trong 2 trường hợp trên? Tại sao nhóm Galois không thể hoán đối vị trí các điểm trong cùng 1 đường thẳng?
Em chưa hiểu tại sao tác động của nhóm Galois lên cặp đường thẳng (pair of lines ) lại chỉ có thể là 1 trong 2 trường hợp trên? Tại sao nhóm Galois không thể hoán đối vị trí các điểm trong cùng 1 đường thẳng?
Tác động của nhóm Galois sẽ thay đổi hoán vị các điểm đóng, tức là điểm nhận giá trị trong bao đóng đại số nhưng fix các điểm nhận giá trị trên , tức là các điểm hữu tỷ.
Đoạn đó của bác đưa ra 2 trường hợp của tác động của nhóm Galois :
- Tác động tầm thường : giữ nguyên tất cả các điểm.
- Hoán vị các điểm của 2 đường thẳng với nhau, tức là điểm nằm trên đường 1 nhảy sang điểm nằm trên đường 2.
Em đang thắc mắc là, tại sao không có trường hợp thứ 3 :
- Hoán vị các điểm trên 1 đường thẳng : tức là điểm trên đường 1 nhảy sang 1 điểm khác vẫn nằm trên đường 1??
Đoạn đó của bác đưa ra 2 trường hợp của tác động của nhóm Galois :
- Tác động tầm thường : giữ nguyên tất cả các điểm.
- Hoán vị các điểm của 2 đường thẳng với nhau, tức là điểm nằm trên đường 1 nhảy sang điểm nằm trên đường 2.
Em đang thắc mắc là, tại sao không có trường hợp thứ 3 :
- Hoán vị các điểm trên 1 đường thẳng : tức là điểm trên đường 1 nhảy sang 1 điểm khác vẫn nằm trên đường 1??
Xin lỗi tại mình nói là tác động của cả nhóm Galois, chính xác hơn là tác động của geometric Frobenius, phần tử sinh của nhóm Galois. Tuy nhiên do nó là generator, nên việc phân tích tác động của Frobenius sẽ dẫn tới tác động của nhóm. Nói như vậy thực ra là vẫn thiếu chính xác, vì Frobenius là 1 topological generator thì đúng hơn. Trong trường hợp giao của 2 đường thẳng, từ pt là 1 đa thức có bậc là 2, ta phải xét (các mở rộng bình phương) chứ không hẳn là cả nhóm Galois absolute.
Frobenius hình học sẽ gửi 1 phần tử lên , và fix . Do đó nó cảm sinh 1 tác động lên đa tạp đại số, hiểu như là
Geometric Frobenius tác động trong trường hợp 2 đường thẳng giao nhau này thì có thể coi như là 1 endomorphism trên lược đồ, và nó sẽ tác động lên configuration (cấu hình) của cả không gian, chứ không từng riêng phần irreducible components, tức là ý tôi là, nó sẽ thay đổi configuration, chứ không phải là 1 automorphism tác động lên điểm trên đó. Tức là phải hiểu chính xác, nó hoán vị 2 đường thẳng.
Chẳng hạn nếu Frobenius hình học tác động lên 1 đường thẳng thì nó sẽ chỉ là tác động tầm thường.
Xét 1 siêu mặt bậc 2 trong mặt phẳng xạ ảnh, từ phương trình bậc 2, ta có thể xem siêu mặt này là 1 đường thiết diện conic nếu đa thức của chúng ta trơn (nghiệm của đa thức không trùng với điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của đa thức theo các biến triệt tiêu). Hoặc nếu đa thức không trơn thì siêu mặt sẽ là suy biến của 1 đường conic, tức là giao của 2 đường thẳng.
Trực quan, ta có thể thấy dưới tác động của nhóm Galois, hoặc tác động là tầm thường, tức là 2 đường thẳng không suy suyển, trong trường hợp này số điểm hữu tỷ của siêu mặt sẽ phải là . Sở dĩ vậy, bởi mỗi đường thẳng trong 1 mặt phẳng xạ ảnh có thể xem như là , và trên 1 trường hữu hạn thì nó có số điểm hữu tỷ phải là (xem như 1 đường thẳng affine cộng thêm 1 điểm ở vô hạn). Do đó giao của chúng phải có điểm.
Trường hợp thứ 2 có thể xẩy ra, đó là tác động của nhóm Galois lên siêu mặt làm hoán vị 2 đường thẳng này với nhau. 1 cách trực quan, mỗi điểm hữu tỷ đều bị fixed bởi tác động của Galois, bởi nhóm Galois theo định nghĩa là các tự đẳng cấu trên bao đóng đại số và giữ nguyên . Do đó chỉ có 1 điểm hữu tỷ duy nhất trong trường hợp này, tức chính giao của 2 đường.
Trường định nghĩa của siêu mặt này là gì vậy? Em tưởng phải có 2 trường, 1 trường là trường cơ sở, 1 trường nào đó khác là mở rộng của , có thể là bao đóng đại số hoặc ít ra là trường phân rã của đa thức xác định siêu mặt chứ??
Như dante nói, trường định nghĩa của siêu mặt này là , và nhóm Galois tác động lên trên này là absolute Galois (nếu ta chưa biết pt cụ thể của siêu mặt). Bởi hiển nhiên nếu muốn có hình học thì ta phải pullback nó về bao đóng đại số của trường định nghĩa.
OK, giờ em hiểu rồi. Ta xét cái Frobenius map và đếm số điểm bất động, dựa vào tính chất nếu thì . Giả sử conic suy biến thành 2 đường thẳng giao nhau. Tức là dạng toàn phương xác định conic sẽ là tích của 2 dạng tuyến tính. Cái Frobenius map sẽ tác động lên dạng tuyến tính bằng cách tác động lên các hệ số của nó, tuy nhiên vẫn giữ nguyên dạng toàn phương ban đầu ( do có hệ số trong ). Như vậy hoặc là nó giữ nguyên cả 2 dạng tuyến tính ( 2 đt),
trong trường hợp đó thì dạng tuyến tính này là thuộc , nên đt có đủ điểm trong, hoặc là nó biến dạng này thành dạng kia .
Trong hình học đại số, có 1 lớp các đa tạp xạ ảnh rất thú vị, đó là các đa tạp Fano, mà siêu mặt với số bậc nhỏ hơn số biến là 1 ví dụ điển hình (Các bạn có thể nghiền ngẫm 1 ví dụ về siêu mặt Fermat bậc 3 trong 1 không gian xạ ảnh 4 chiều). Trừu tượng, thì đa tạp Fano được định nghĩa như là 1 đa tạp có bó phản chuẩn tắc (anti-canonical bundle) giầu (ample). Đây là 1 khái niệm khó, khi nào có dịp, tôi sẽ quay trở lại. Bạn nào bên hình học vi phân, có thể xem đa tạp Fano như là các đa tạp Hyperkähler (tôi không chắc chắn liệu đây có phải là 1 so sánh chính xác).
Híc, bác Thi nói thêm 1 chút về tại sao đa tạp Fano lại có "liên quan" đến các mặt mà số bậc nhỏ hơn số biến không?
Bây giờ câu chuyện của chúng ta tiếp tục câu chuyện phiêu lưu ký với đối đồng điều étale. Trước hết ta xét 1 đồng cấu vành , và cho 1 đồng cấu vành như vậy ta gọi là 1 -đại số. Để đơn giản ta có thể xét luôn các vành của chúng ta là Noetherian, điều này có nghĩa mọi Ideal của chúng phải hữu hạn sinh. Trên thực tế các đối tượng hình học thú vị đều là Noetherian Schemes nên ta không ngần ngại restrict interesst của chúng ta ở điều kiện Noetherian.
được gọi là étale -algebra nếu nó là 1 đại số thuộc dạng hữu hạn, i.e.
sao cho . Điều kiện này các bạn có thể thấy rất gần giống với 1 đại số trơn. Ta định nghĩa 1 cấu xạ étale trên lược đồ như là 1 cấu xạ thuộc dạng hữu hạn, i.e. tồn tại 1 phủ mở affine Zariski và với mỗi chỉ số tồn tại 1 phủ mở affine Zariski của nghịch ảnh sao cho là 1 đại số étale.
Câu chuyện trở nên thú vị, khi ta biết cấu xạ étale là 1 cấu xạ mở, điều này có nghĩa nó biến tập mở vào tập mở. Ta lại nhớ lại tiếp khái niệm tập mở trong topo Zariski, nó ứng với cấu xạ bao . Ông Grothendieck bảo rằng, topo Zariski không đủ nhiều tập mở, bằng chứng là với mọi bó abelian trên Zariski topo thì đối đồng điều Zariski
tức là ta chưa có 1 lý thuyết đối đồng điều thỏa mãn các mong ước của Weil. Vậy ta có thể làm giầu các tập mở bằng cách xem "tập mở" như là 1 họ hữu hạn các cấu xạ étale , sao cho là hợp rời rạc của ảnh của các lược đồ . 1 tính chất tuyệt vời nữa của cấu xạ étale đó là chúng stable nếu ta base change, điều này dẫn tới khái niệm étale Site.
Tất nhiên bạn có thể làm hệt như vậy với các cấu xạ phẳng, để tạo ra topo phẳng, thế nhưng tại sao ta lại chọn đối tượng quái quỷ là topo étale (vừa phẳng vừa không phân nhánh (unramified) để làm gì. Thực chất topo étale có những tính chất hình học deeper hơn rất nhiều, khi nào có dịp tôi sẽ quay trở lại phủ Galois hữu hạn, mà bạn đọc có thể tham khảo rất hữu ích ở Blog cá nhân của [Only registered and activated users can see links. ] bài phạm trù Galois.
Trên topo étale mới này, ông Grothendieck bảo, chúng ta thay giao của 2 tập hợp bằng tích thớ, điều này có nghĩa, nếu ta có 1 họ phủ étale , thì giao của và được xem như là , điều này giúp ta mở rộng khái niệm bó trên topo Zariski sang topo étale. Cụ thể hơn, mỗi bó trên topo étale được hiểu như là 1 hàm tử phản biến từ phạm trù tất cả các phủ étale trên 1 lược đồ cho trước vào 1 phạm trù nào đó (thường là vành, nhóm, module) sao cho dẫy equalizer sau khớp
Như vậy ta đã có thể hình dung ra con đường apply toàn bộ machinery của homological algebra thế nào lên cái étale topo này. Tôi cho rằng quan điểm truyền thống về việc trình bầy đối đồng điều étale thông qua hàm tử dẫn xuất của hàm tử global section, và dùng injective resolution là 1 mô hình sư phạm sai lầm. Do rất nhiều người trong chúng ta muốn tìm hiểu về motivic cohomology, nên vào 1 ngày đẹp trời chúng ta sẽ view étale cohomology bằng ngôn ngữ Derived category, thậm chí có thể khẳng định rằng chúng ta không thể định nghĩa được các khái niệm như cup-product hay trace map nếu không view toàn bộ câu chuyện của chúng ta bằng Derived category.
Bây giờ bạn và tôi, chúng ta hãy bằng lòng rời khỏi topo étale để down to earth đến với 1 đối tượng đóng vai trò cơ bản trong Weil conjecture, đó là Frobenius. Nếu tôi có đả động gì đến étale cohomology, thì bạn có thể xem nó như là Betti cohomology trong topo đại số vậy, quan điểm này chí ít vẫn có tác dụng khi chúng ta đọc paper của Deligne Weil I&II. Giả sử chúng ta nghiên cứu hình học trên 1 trường hữu hạn . Hiển nhiên chúng ta chẳng có gì để nói về hình học trên này do trường không đóng đại số, vậy ta thực hiện 1 động tác gọi là pull back nó lên bao đóng đại số, ta sẽ viết . Bao đóng đại số của trường hữu hạn thì bạn có thể xem như là hợp của tất cả các mở rộng hữu hạn của .
1 hàm số khá thú vị có tên là Zeta function của 1 đa tạp đại số trên trường hữu hạn, được định nghĩa thông qua
(híc đang post bài thì có việc bận, có mấy việc làm xong, mất hứng post tiếp).
We thank Le Dang Thi NGUYEN for this original paper:
Điểm hữu tỷ của đa tạp đại số trên trường hữu hạn 
