Đếm các đường cong phẳng.

**dante** · #1 (**permalink**) 07-01-2009

Đường cong phẳng là tập hợp các điểm là nghiệm của của 1 đa thức thuần nhất $f(x,y,z)$ trong mặt phẳng xạ ảnh trên trường phức. Bạn nào không quen với khái niệm mặt phẳng xạ ảnh thì có thể hình dung nó như một không gian 2 chiều thông thường nhưng được thêm vào một số điểm nào đó để có những tính chất đẹp ( ví dụ, 2 đường thẳng bất kì trên mặt phẳng xạ ảnh luôn cắt nhau tại 1 điểm ).
Một điểm cần lưu ý là tuy gọi là đường cong, nhưng do xác định trên trường phức, nên thực chất nó là một bề mặt 2 chiều, được nhúng trong không gian 4 chiều. Nếu bề mặt này không tự cắt thì nó còn được gọi là diện Riemann.
Việc đếm số đường cong phẳng thỏa mãn những điều kiện nhất định là một bài toán rất classic trong hình học đại số. Mục tiêu của những series bài viết này là nhằm giải thích công thức truy hồi rất đẹp của Kontsevich, đếm số đường cong hữu tỉ ( giống bằng không ) bậc $d$ đi qua $3d-1$ điểm, và có thể thêm 1 vài mở rộng, ví dụ đường cong có thể có giống tùy ý, 1 kết quả của Caporaso-Harris. Tôi sẽ cố gắng viết thật dễ hiểu để tốc độ đọc có thể xấp xỉ bằng tốc độ hiểu.
Để hiểu thế nào là đếm thì tôi xin đưa ra một vài ví dụ đơn giản nhất :

Ví dụ 1 : Có bao nhiêu đường cong bậc 2, hay còn gọi là conic, đi qua 5 điểm cho trước?

Con số 5 điểm không phải được chọn một cách tùy ý. Nó bằng với số chiều của không gian moduli của các conics. Hay nói cách khác, để xác định 1 conics thì cần 5 tham số. Mỗi conic được xác định bởi 1 phương trình thuần nhất bậc 2 của 3 biến số : $0 = f(x,y,z) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dxz + Eyz + Fz^2$ , nghĩa là nó phụ thuộc vào 6 tham số $A,B,C,D,E,F$ . Nhưng nếu ta nhân tất cả các tham số này với 1 hằng số khác 0, ta vẫn thu được cùng 1 đường conic, nên số bậc tự do thực sự chỉ là 5. Cụ thể hơn, không gian moduli ( họ tất cả) các đường conic chính là $\mathbb{P}^5$ .

Sau đó ta có thể nhận thấy điều kiện cho 1 conic đi qua 1 điểm $(x_0,y_0,z_0)$ tương đương với việc đặt 1 liên hệ tuyến tính đối với các hệ số $A,B,C,D,E,F$ , có được bằng cách thế $(x_0,y_0,z_0)$ vào phương trình của đường cong. Như vậy quỹ đạo các đường conic đi qua 1 điểm là một siêu phẳng trong $\mathbb{P}^5$ . Quỹ đạo của các conic đi qua 5 điểm sẽ là giao điểm của 5 siêu phẳng,và như ta biết, n siêu phẳng trong $\mathbb{P}^n$ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất. Như vậy có 1 conic đi qua 5 điểm cho trước!!!

Điều kiện bắt buộc conic đi qua 1 điểm là điều kiện đối chiều 1, theo nghĩa quỹ đạo các conic đi qua 1 điểm là không gian con có đối chiều 1 trong không gian moduli của các conic. Để có 1 bài toán đếm khác, ta có thể đơn giản thay đổi điều kiện đối chiều 1 : ví dụ, bắt buộc conic tiếp xúc với 1 đường thẳng cho trước cũng là 1 điều kiện đối chiều 1.

Không gian moduli của các conic có 5 chiều, do vậy ta cần 5 điều kiện đối chiều 1 để có 1 bài toán đếm, và 5 điều kiện này có thể là any combination của 2 điều kiện : đi qua 1 điểm hoặc là tiếp xúc với 1 đường thẳng. Gọi $A_{u,v}$ là số conic đi qua u điểm và tiếp xúc với v đường thẳng. Ở đây $u + v = 5$ như nhân xét phía trên. Các số $A_{u,v}$ này được gọi là các số đặc trưng của đường conic. Ví dụ phía trên ta đã tính $A_{5,0}$ và đây là số đặc trưng dễ tính nhất.
Các số đặc trưng, theo thứ tự từ $A_{5,0}$ đến $A_{0,5}$ là $1,2,4,4,2,1$ . ( Câu hỏi : tại sao có sự đối xứng này??? ) . Ta hãy xem tại sao A{4,1} lại bằng 2. Quỹ đạo của các đường conic tiếp xúc với 1 đường thẳng cho trước là 1 siêu mặt bậc 2 trong không gian moduli $\mathbb{P}^5$ . Như vậy ta cần biết có bao nhiêu giao điểm của 4 siêu phẳng ( ứng với đi qua 4 điểm ) và 1 siêu mặt bậc 2. Sử dụng định lý Bezout thì ta có thể đoán là có 2 điểm. Định lý Bezout khẳng định bậc của giao điểm của một họ các đa tạp xạ ảnh thì bằng tích của bậc các đa tạp đó ( bậc của tích = tích của bậc ).
Nhưng trick này không dùng được để tính $A_{0,5}$ . Set theoretically thì đây là số giao điểm của 5 siêu mặt bậc 2. Định lý Bezout tiên đoán bậc của giao điểm này là 32, trong khi kết quả chỉ là 1. Lý do là ta đã đếm thêm cả các đường thẳng đúp (double line), theo nghĩa đại số thì đường thẳng đúp là 1 conic tiếp xúc với bất kì đường thẳng nào khác. Tính toán $A_{0,5}$ là 1 bài tập hết sức cơ bản của Intersection theory, tuy nhiên tôi muốn sử dụng một phương pháp khác để giải bài toán đếm trong loại bài viết này. Trong kì tới thì tôi sẽ bắt đầu sử dụng phương pháp này để tính các số đặc trưng của đường conic.

**Le Dang Thi NGUYEN** · #2 (**permalink**) 07-01-2009

	Trích:
	...n siêu phẳng trong $\mathbb{P}^n$ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất...

Chỗ này tôi chưa hiểu, dante có thể giải thích cặn kẽ thêm? Tôi nghĩ nó phải dựa vào việc $Div(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z}[L]$ . Siêu phẳng có nghĩa là hyperplane, tức là hypersurface (siêu mặt) có degree 1?

**dante** · #3 (**permalink**) 07-01-2009

	Trích:	Le Dang Thi NGUYEN
	Chỗ này tôi chưa hiểu, dante có thể giải thích cặn kẽ thêm? Tôi nghĩ nó phải dựa vào việc $Div(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z}$ .

Chắc bác Thi nhầm với siêu mặt (hypersurface ). Ý em ở đây là hyperplane, nghĩa là siêu phẳng, cắt ra bởi 1 pt tuyến tính. Thế nên khẳng định trên có thể giải thích bằng đại số tuyến tính. Tập nghiệm của 1 hệ pt tuyến tính gồm n pt trong không gian véc tơ $n+1$ chiều là 1 đường thẳng, do đó nó ứng với 1 điểm trong không gian xạ ảnh.

**Le Dang Thi NGUYEN** · #4 (**permalink**) 07-01-2009

okay now it is clear. Thanks bạn dante

Quay trở lại bài viết, tôi không biết về không gian moduli, nhưng như vậy có thể hình dung trực quan trong ví dụ này thì nó như là 1 không gian tham số hóa các đường cong conic. Ở đây cụ thể không gian moduli này là $\mathbb{P}^5$ , tôi cứ hình dung trực quan, mỗi điểm trong không gian này sẽ tương ứng với 1 đường cong conic? Vì mỗi bộ tọa độ thuần nhất tương ứng với hệ số của 1 đa thức bậc 2 xác định 1 đường cong conic. Vậy có thể hình dung không gian moduli như kiểu 1 "tập hợp" các đường conic. Thế nhưng tại sao "tập hợp" này lại có cấu trúc của 1 đa tạp xạ ảnh? Cụ thể là ở đây nó là 1 không gian xạ ảnh và in general tôi đoán không phải lúc nào cũng có không gian moduli?

**dante** · #5 (**permalink**) 07-01-2009

Để tăng thêm phần thú vị thì em xin đề nghị 1 bài tập nho nhỏ : [

]
Như ta đã biết thì 1 đường conic có thể suy biến thành 2 đường thẳng. Trong không gian moduli space của conics ( như ta đã biết là $\mathbb{P}^5$ ) thì quỹ đạo các conic suy biến sẽ là một đa tạp con của $\mathbb{P}^5$ . Hỏi số chiều và bậc của đa tạp này bằng bao nhiêu ?
( Hint : có thể tính trực tiếp (hệ) phương trình xác định đa tạp này, hoặc có thể suy luận gián tiếp ).

**Le Dang Thi NGUYEN** · #6 (**permalink**) 07-01-2009

	Trích:	dante
	Để tăng thêm phần thú vị thì em xin đề nghị 1 bài tập nho nhỏ : [] Như ta đã biết thì 1 đường conic có thể suy biến thành 2 đường thẳng. Trong không gian moduli space của conics ( như ta đã biết là $\mathbb{P}^5$ ) thì quỹ đạo các conic suy biến sẽ là một đa tạp con của $\mathbb{P}^5$ . Hỏi số chiều và bậc của đa tạp này bằng bao nhiêu ? ( Hint : có thể tính trực tiếp (hệ) phương trình xác định đa tạp này, hoặc có thể suy luận gián tiếp ).

Tôi thì dựa trên fact sau đây của dante để đưa ra lời trả lời, và câu trả lời có thể không đúng

	Trích:
	Điều kiện bắt buộc conic đi qua 1 điểm là điều kiện đối chiều 1, theo nghĩa quỹ đạo các conic đi qua 1 điểm là không gian con có đối chiều 1 trong không gian moduli của các conic. Để có 1 bài toán đếm khác, ta có thể đơn giản thay đổi điều kiện đối chiều 1 : ví dụ, bắt buộc conic tiếp xúc với 1 đường thẳng cho trước cũng là 1 điều kiện đối chiều 1

Đường thẳng giao nhau là suy biến của conic, trực quan hình học chúng không thể tiếp xúc với bất cứ đường thẳng nào, dẫn tới phải là phần bù của điều kiện đối chiều 1 (tôi cũng chưa hiểu điều kiện này lắm), do đó chiều của đa tạp con chứa các đường conic suy biến là bằng 1?

Khi tính toán tiếp, thì các trường hợp suy biến phải có dạng xy=0 hoặc yz=0 hoặc xz=0, tức là ta chỉ cần 1 tham số cho mỗi khả năng. Điều này có vẻ hợp lý với suy luận gián tiếp ở trên. Nhưng tôi vẫn thấy hơi ngờ ngợ 1 cái gì đó.

**dante** · #7 (**permalink**) 07-02-2009

	Trích:	Le Dang Thi NGUYEN
	Quay trở lại bài viết, tôi không biết về không gian moduli, nhưng như vậy có thể hình dung trực quan trong ví dụ này thì nó như là 1 không gian tham số hóa các đường cong conic. Ở đây cụ thể không gian moduli này là $\mathbb{P}^5$ , tôi cứ hình dung trực quan, mỗi điểm trong không gian này sẽ tương ứng với 1 đường cong conic? Vì mỗi bộ tọa độ thuần nhất tương ứng với hệ số của 1 đa thức bậc 2 xác định 1 đường cong conic. Vậy có thể hình dung không gian moduli như kiểu 1 "tập hợp" các đường conic. Thế nhưng tại sao "tập hợp" này lại có cấu trúc của 1 đa tạp xạ ảnh? Cụ thể là ở đây nó là 1 không gian xạ ảnh và in general tôi đoán không phải lúc nào cũng có không gian moduli?

1. Để chứng minh chặt chẽ $P^5$ là không gian moduli của conics thì phải chứng minh 2 điều :
- tồn tại một họ conic, gọi là họ phổ quát, trên $P^5$ sao cho thớ trên mỗi điểm chính là conic tương ứng.
- họ này có tính phổ quát, tức là mọi họ conic trên một cơ sở $B$ nào đó đều nhận được bằng việc kéo ngược từ họ phổ quát thông qua 1 cấu xạ duy nhất từ $B$ vào không gian moduli.

Chứng minh nói chung không khó.

2. In general thì không tồn tại không gian moduli đẹp ( fine moduli space ) nếu như đối tượng đang xét có "nhiều" tự đẳng cấu. Ví dụ không tồn tại fine moduli space cho đường cong elliptic. Lý do là tồn tại 1 họ elliptic curves có các thớ đẳng cấu nhưng không tầm thường ( nếu như có 1 fine moduli space thì họ đó phải được pull back bằng một cấu xạ duy nhất, và cấu xạ này do đó phải là hằng số, do các thớ đẳng cấu, nhưng mâu thuẫn vì họ này không tầm thường ). Ví dụ xét họ $y^2 = x^3 +\lambda$ , với $\lambda \in \mathbb{C}$ biến đổi khác 0. Họ này không tầm thường ( tại sao? ) nhưng các thớ đẳng cấu do có cùng bất biến $j$

**Le Dang Thi NGUYEN** · #8 (**permalink**) 07-02-2009

	Trích:
	In general thì không tồn tại không gian moduli đẹp ( fine moduli space ) nếu như đối tượng đang xét có "nhiều" tự đẳng cấu. Ví dụ không tồn tại fine moduli space cho đường cong elliptic.

Cái này tôi chưa hiểu lắm, thế nào là "nhiều" tự đẳng cấu? Các nhóm tự đẳng cấu của elliptic curves đều là finite groups. Hơn nữa nhóm tự đẳng cấu ở đây hiểu theo nghĩa nào, bởi nếu hiểu theo nghĩa ta fix 1 điểm thì automorphism group của elliptic curves sẽ finite. So sánh ra thì nó nhỏ hơn rất nhiều so với nhóm các tự đẳng cấu (regular self map) của $\mathbb{P}^1$ chẳng hạn.

**dante** · #9 (**permalink**) 07-02-2009

	Trích:	Le Dang Thi NGUYEN
	Cái này tôi chưa hiểu lắm, thế nào là "nhiều" tự đẳng cấu? Các nhóm tự đẳng cấu của elliptic curves đều là finite groups. Hơn nữa nhóm tự đẳng cấu ở đây hiểu theo nghĩa nào, bởi nếu hiểu theo nghĩa ta fix 1 điểm thì automorphism group của elliptic curves sẽ finite. So sánh ra thì nó nhỏ hơn rất nhiều so với nhóm các tự đẳng cấu (regular self map) của $\mathbb{P}^1$ chẳng hạn.

Nhóm tự đẳng cấu của EC là infinite group. Thậm chí nó còn transitive. Điều này dễ thấy nếu sử dụng group structure của EC : fix 1 điểm $O$ bất kì : biến $P$ thành $2O - P$ ( lấy đối xứng qua $O$ ). Để biến $P$ thành $Q$ thì chọn $O$ sao cho $2O= P + Q$ (chọn thế nào?? ).

Nếu fix 1 điểm trên EC thì nhóm tự đẳng cấu sẽ hữu hạn. Chính vì thế mà tồn tại fine moduli space cho EC with marked point ( chính lài $j$ -line) , nhưng không tồn tại fine moduli space cho EC .

Với những thứ đối xứng quá như mặt cầu $\mathbb{P}^1$ hoặc đường thẳng đều không có moduli space cả, bởi vì rất dễ để tạo ra một họ không tầm thường.

**Le Dang Thi NGUYEN** · #10 (**permalink**) 07-02-2009

	Trích:
	Không gian moduli của các đường cong bậc d chính là xạ ảnh hóa của không gian các đa thức bậc d, do đó có số chiều là d(d+3)/2 ( bài tập cho độc giả ).

Mình không nắm được moduli space, nhưng nếu không gian các đa thức thuần nhất bậc d tức là $V_{(d)} = \{f \in k[X_0,X_1,X_2] \quad | \quad deg(f) = d \}$ sẽ có số chiều là $\frac{(d+2)!}{d! \cdot 2!} = \frac{(d+1)(d+2)}{2}$ , do đó số chiều của xạ ảnh hóa phải trừ đi 1, dẫn tới $dim M(d) = d(d+3)/2$ .