Bất đẳng thức Chebyschev và bài toán hôn nhân...

Nameless · #1 (**permalink**) 02-21-2012

Bài này post bên kia rồi nhưng forum bên kia không có LaTeX, nên xin được post lại nơi đây. Mình trích lại bài toán này mà mình đọc trên tạp chí toán học phổ thông cách đây hơn 10 năm rồi,...

Việc tăng chiều cao cho thế các thế hệ sau là điều cần thiết, dân Việt Nam ta có chiều cao khá khiêm tốn nên khi đi ra ngoài cũng có nhiều mặc cảm tự ti với bạn bè quốc tế, đặt biệt là cho mấy anh muốn cua gái nước ngoài. Theo Wikipedia, chiều cao trung bình của người Việt trong giai khoang thời gian 1992-1993 là 162 cm đối với nam và 152 cm cho nữ. Cũng theo Wikipedia, theo số liệu của năm 2006-2007, thì chiều cao của dân số có cải thiện đấng kể (165 cm cho nam và 155cm cho nữ).

Chiều cao của một con người rõ ràng là chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố : chiều cao của cha mẹ, chế độ dinh dưỡng, các hoạt động thể dục thể thao,...
Nếu chúng ta chỉ quan tâm đến khía cạnh di truyền thì câu hỏi đặt ra là ai nên lấy ai để con cái chúng ta có chiều cao cao hơn ta?

Giả sử chúng ta có $n$ chàng trai đang cần tìm vợ, với chiều cao tương ứng xắp xếp theo thứ tự giảm dần : $b_1\geq b_2\geq ...\geq b_n$ (cm). Đồng thời để cân bằng dân số ta giả thiết là cũng có $n$ cô gái cũng đang tuổi kặp kê, với chiều cao tương ứng xắp xếp theo thứ tư giảm dần : $a_1\geq a_2\geq....\geq a_n$ (cm).

chúng ta có $n$ cô gái, nên chiều cao trung bình của họ là : $\frac{ (a_1+a_2+...+a_n)}{n}$ (cm)

Tương tự chiều cao trung bình của n chàng trai là : $\frac{(b_1+b_2+..+b_n)}{n}$ (cm)

Nếu ta đồng ý là cha cao $b$ (cm) và mẹ cao $a$ (cm) thì chiều cao của con sẽ là $\alpha ab$ (cm). Trong đó $\alpha$ là một hằng số đặc trưng cho mỗi quốc gia ( hay môi trường sống, chế độ dinh dưỡng,...)

Rõ ràng nếu chúng ta kết hôn một cách ngẫu nhiên thì chiều cao trung bình của thế hệ sau sẽ là $\alpha\frac{ (a_1+a_2+...+a_n)}{n}\frac{(b_1+b_2+..+b_n)}{n}$ (cm)

Bài toán đặt ra: ai nên lấy ai để con cái ngày càng cao hơn ?

Giả thuyết là : cặp vợ chồng nào cũng có con

Để giải bài toán này chúng ta recall bất đẳng thức [Only registered and activated users can see links. ] rời rạc

a) $(a_1 +..+a_n)(b_1+..+b_n) \leq n (a_1 b_1+...+a_n b_n)$

b) $n(b_1 a_n +...+b_n a_1)\leq(a_1 +..+a_n)(b_1+..+b_n)$

Giải pháp 1: Cao lấy thấp? Liệu con của chúng ta có cao hơn chúng ta ?

giả sư anh chàng cao nhất $b_1$ (cm) lấy anh cô nàng thấp nhất $a_n$ (cm), chàng cao nhì $b_2$ (cm) lấy cô thấp thứ nhì $a_{n-1}$ (cm), and so on

thế thì chiều cao trung bình của con cái họ là : $\alpha\frac{ (a_1 b_n +....+b_1 a_n)}{n}$

áp dụng bất đẳng thức Chebyschev trường hợp b) chúng ta có : $n(b_1 a_n +...+b_n a_1)\leq(a_1 +..+a_n)(b_1+..+b_n)$

chia hai vế cho $n^2$ rồi nhân $\alpha$ cho hai vế dẫn đến : $\alpha\frac{(b_1 a_n +...+b_n a_1)}{n}$ $\leq\alpha\frac{(a_1 +..+a_n)}{n}\frac{ (b_1+..+b_n)}{n}$

để ý kĩ bên trái chúng ta có chiều cao trung bình khi kết hôn theo kiểu thấp lấy cao thấp hơn chiều cao trong trường hợp kết hôn ngẫu nhiêu.

Kết luận: con chúng ta thấp hơn ta nếu ta kết hôn theo kiểu thấp lấy cao

Giai phap 2: Thấp lấy thấp, cao lấy cao? Con sẽ cao hơn ?
tức là anh thấy nhất $b_n$ (cm) lấy cô nàng thấp nhất $a_n$ (cm),...anh chàng cao nhất $b_1$ (cm) lấy cô nàng cao nhất $a_1$ (cm).

thế thì chiều cao trung bình của con cái họ là : $\alpha\frac{ (a_1 b_1 +....+b_n a_n)}{n}$

áp dụng bất đẳng thức Chebyshev trong trượng a) chúng ta có : $(a_1 +..+a_n)(b_1+..+b_n) \leq n (a_1 b_1+...+a_n b_n)$

chia hai vể cho $n^2$ rồi nhân $\alpha$ vào hai vế chúng ta có : $\alpha\frac{ (a_1 +..+a_n) }{n}\frac{ (b_1+..+b_n)}{n} \leq \alpha\frac{ (a_1 b_1+...+a_n b_n)}{n}$

đế ý kĩ bên phải là chiều cao của con chúng ta trong trường hợp kết hôn theo kiểu thấp lấy thấp, cao lấy cao cao hơn chiều cao trong trường hợp kết hôn ngẫu nhiên.

Kết luận: để con cái ta cao hơn chúng ta nên kết hôn theo kiều II) thấp lấy thấp và cao lấy cao.

Vậy nên các bác khi kiếm vợ/ chồng thì cách tốt nhất là nên lấy người có chiều cao ngang với mình.

**GrassFairy** · #2 (**permalink**) 02-22-2012

Nameless hay nhỉ. Bài đọc từ lâu rồi mà vẫn nhớ

Nhưng mà cách kết hôn này chỉ có lợi cho chiều cao trung bình thôi. Chứ nếu thấp lấy thấp thì đứa con $\alpha$ ab sẽ lùn tịt à. Thế nên nhân loại vẫn cứ thích lấy người cao để con cái cao hơn một tí.