Hilbert Class Field

tientd · #1 (**permalink**) 07-11-2009

Các bác cho em hỏi về Hilbert Class Field (HCF) và mở rộng hữu hạn của Hilbert Class Field? Ý nghĩa hình học và những đặc trưng cơ bản? Có gì giống và khác nhau giữa HCF trong Number Fields va Function Fields?

**Le Dang Thi NGUYEN** · #2 (**permalink**) 07-12-2009

Tiến có thể trình bầy rõ hơn về định nghĩa và vài tính chất cơ bản của trường lớp Hilbert được không? Mình vừa mới tra trên Wiki nhưng cũng chưa hiểu ngay.

**thichhoctoan** · #3 (**permalink**) 07-18-2009

Mục đích của lý thuyết class field là để hiểu thương abel cực đại của nhóm Galois của một trường số. Hiểu ở đây nghĩa là diễn đạt nó bằng chích trường số chứ không nhờ đến các mở rộng trường. Cụ thể hơn nữa người ta xây dựng một đẳng cấu giữa thương abel cực đại của nhóm Galois và nhóm các lớp idele.

Lý thuyết class field của Hilbert là một bộ phận. Ông Hilbert chỉ quan tâm đến các mở rộng không rẽ nhánh khắp nơi. Thương abel cực đại không rẽ nhánh được mô tả như nhóm các lớp ideal modulo các ideal chính.

Trong trường hợp hình học, Hilbert class field trông sáng sủa hơn nhiều. Nó nói là mọi không gian phủ etale vối nhóm Galois abel đều kéo về từ đa tạp Jacobi qua ánh xạ Abel-Jacobi..

**B-tan** · #4 (**permalink**) 07-20-2009

Hilbert class field như anh Châu nói là mở rộng abel tối đại không rẽ nhánh ở mọi chỗ không Archimedean, và tách hoàn toàn (completely split) ở các chỗ Archimedean của một trường số K. Kết quả chính của global class field theory là có một đẳng cấu (ánh xạ Artin hay reciprocity) từ phần profinite completion (dịch là gì nhỉ?) của nhóm lớp idele $C_K$
vào abelization của nhóm Galois tuyệt đối của K. Mỗi mở rộng abel hữu hạn L/K ứng với một nhóm con mở và thông qua Artin map tương ứng với nhóm các norm từ L xuống K. Ánh xạ Artin toàn cục khi hạn chế lên từng thành phần sẽ cho ánh xạ reciprocity dịa phương của chỗ tương ứng. Vì thế mọi mở rộng abel không rẽ nhánh khắp nơi và tách hoàn toàn ở vô cùng phải ứng với một nhóm chứa $K^x$ và $1\times \prod U_v$ , tích lấy trên tất cả v là chỗ non-Archimedean và 1 ở các chỗ còn lại. Do đó trường lớp Hilbert chính là mở rộng tương ứng với nhóm bé nhất này, và hệ quả là ánh xạ reciprocity sẽ cho một đẳng cấu giữa nhóm Galois của trường lớp Hilbert và nhóm lớp ideal của K. Định lý ideal chính nói rằng mọi ideal của K sẽ trở thành ideal chính trong trường lớp Hilbert, tuy nhiên nhóm lớp ideal của trường lớp Hilbert có thể không tầm thường, và do đó có thể lặp lại quà trình trên. Nói chung dãy các trường thu được có vẻ khá bí ẩn (đối với em), nó có thể vô hạn hoặc hữu hạn, cái này tương đương với việc có thể nhúng K vào một trường có số lớp 1 hay không.
Nhân tiện nói về trường lớp, anh Châu có thể viết một bài nói tại sau lý thuyết trường lớp lại là trường hợp riêng của tương ứng Langlands cho $GL_1$ không ạ? Theo em nghĩ thì thông qua ánh xạ Artin, các biểu diễn 1 chiều của nhóm Galois của K (cái này phải factor qua phần abelization) ứng với một Grossencharakter (theo ngôn ngữ cổ), và cái này thì về cơ bản là một biểu diễn 1 chiều của $GL_1(A_K)/GL_1(K)$ . Sự tương ứng này sẽ cho cùng một L-hàm. Có điều em chưa hiểu tại sao biểu diễn này là automorphic (theo nghĩa nhúng vào trong một không gian $L^2$ nào đó), hay cái này là tự động từ phân tích tự nhiên của nó? Tương ứng này mới là giữa một đối tượng automorphic và một đối tượng số học, thế phần hình học là đối tượng gì (nói hoa mỹ hơn là motive nào)?

**Le Dang Thi NGUYEN** · #5 (**permalink**) 07-20-2009

Theo mình nghĩ thì profinite completion có thể tạm dịch là đầy đủ hóa cận hữu hạn.