Xin đặt tạm tiêu đề là thế, dù rằng nội dung của topic này sẽ liên quan đến biểu diễn Galois p-adic theo kiểu Fontaine nhiều hơn. Hẳn khi ta học hình học đại số sẽ gặp phải nhiều lý thuyết đối đồng điều, và có 1 vài định lý để so sánh chúng với nhau, ít nhất trong trường hợp nếu lược đồ được định nghĩa trên trường phức. Cụ thể hơn, với , định lý so sánh (xem SGA 4 phần III Artin) nói với chúng ta rằng
Hoặc như trong topo đại số ta cũng có thể so sánh đối đồng điều De Rham với đối đồng điều kỳ dị
Tuy nhiên không có 1 định lý nào cho phép chúng ta so sánh trực tiếp giữa đối đồng điều De Rham và étale, ngoại trừ dựa vào việc so sánh chúng thông qua đối đồng điều Betti. Tuy nhiên ta hãy phân tích thêm 1 cách định tính tiếp, ở phép so sánh thứ 2 giữa đối đồng điều De Rham và Betti ta đã biết đẳng cấu giữa chúng mô tả mối quan hệ với tuần hoàn (period). Vậy nên ý tưởng của Fontaine trong lý thuyết biểu diễn Galois p-adic là đưa ra khái niệm vành tương tự như period, sao cho sau khi lấy tensor ta có thể đem so sánh đối đồng điều p-adic étale với De Rham (thực tế kq đã được chỉ ra bởi Faltings). Điều này có nghĩa, nếu là 1 lược đồ định nghĩa trên 1 trường p-adic thì
Xin đặt tạm bài đầu cho topic là như thế, những bài sau tôi sẽ post dần dần về Fontaine's formalism lên đây, đặc biệt sẽ quan tâm tới biểu diễn Galois nửa ổn định, liên quan nhiều tới các cấu trúc logarithmic và đối đồng điều crystalline.
thay đổi nội dung bởi: Le Dang Thi NGUYEN, 07-12-2009 lúc 05:00 PM
Tôi còn nhớ có 1 bài thơ trong blog cá nhân của [Only registered and activated users can see links. ], tuy nhiên lại không nhớ nó nằm trong trả lời của bài viết nào của GS, nên giờ cũng không đưa ra được đích xác link, đại khái bài thơ ngụ ý những thứ ta thu được trên con đường đi tới đích mới quan trọng cho nên chúng ta cần phải hết sức kiên nhẫn không nóng vội, vì cái đích chưa chắc đã hay được bằng cái ta tích cóp trên đường đi.
Topic này là 1 mục tiêu dài hạn, vậy ta cứ thủng thẳng ngày này qua tháng khác từ từ tích nhặt post dần các kiến thức, để có thời gian nghiền ngẫm suy tư về nó, và quan trọng là để hiểu nó. Để nắm được lý thuyết Hodge p-adic, ta cần phải vừa hiểu hình học đằng sau nó, vừa phải nắm được lý thuyết biểu diễn kiểu của Fontaine. Hiển nhiên bạn có thể đưa ngay ra xây dựng vành tuần hoàn mà không cần biết đối đồng điều tinh thể (crystalline), nhưng thế khác nào ta tự giới hạn ta xuất từ 1 cái đích xa xôi mà không hiểu con đường đi từ dưới lên nó.
Sách vở về đối đồng điều tinh thể không có nhiều, ngoại trừ 1 bài rất ngắn nêu lên ý tưởng của Grothendieck và bài giảng của Berthelot và Ogus. Cách xây dựng của đối đồng điều tinh thể so với đối đồng điều phẳng không phân nhánh (étale cohomology) rất phức tạp, nhưng lại áp dụng khi tính toán thì rất dễ dàng, đây là 1 điểm lợi thế. Điểm thứ 2, đối đồng điều tinh thể rất gần với đối đồng điều phẳng không phân nhánh p-adic, và có 1 lần tôi được nghe GS NBC nói rằng hiện nay hướng p-adic còn nhiều điều để làm hơn l-adic. Tuy nhiên cũng phải nói đối đồng điều tinh thể chỉ hành xử tốt với lược đồ trơn, để mở rộng ra kỳ dị người ta phải sáng chế ra anh chàng đối đồng điều rắn (rigid cohomology), nhưng đây không phải là câu chuyện mà ta muốn đề cập tại đây.
Tôi sẽ đưa ra 1 overview đơn giản nhất về đối đồng điều tinh thể, có thể xem Berthelot nếu muốn 1 lý thuyết đầy đủ và chi tiết. Ta xét 1 lược đồ trên trường đặc số và giả thiết hoàn hảo (có nghĩa là Frobenius là 1 tự đẳng cấu trên bao đóng đại số của ). Tôi không muốn định nghĩa lại khái niệm vành Witt, bạn đọc có thể tra cứu về nó lại trong cuốn trường địa phương của Serre, tôi đơn giản ký hiệu là vành Witt của trường . Có thể lấy 1 ví dụ đơn giản là nếu trường có phần tử vậy thì vành Witt của nó chính là vành các số nguyên p-adic . Ta gọi là vành các véc tơ Witt có độ dài và trường các thương của vành Witt.
Trước hết ta đưa vào khái niệm topo tinh thể, tương tự như đã làm với topo phẳng không rẽ nhánh ở topic về điểm hữu xin xem lại tại [Only registered and activated users can see links. ]. Topo tinh thể của 1 lược đồ (xem như lược đồ trên ), ta ký hiệu là , hiểu như là 1 phạm trù có các vật là 1 cặp , trong đó là 1 lược đồ con mở, là 1 phép nhúng đóng của lược đồ trên và là cấu trúc PD trên ideal tương ứng với phép nhúng đó, và tương thích với cấu trúc PD chuẩn trên ideal chính . Cấu trúc PD ở đây bạn có thể nôm na như là 1 loạt các phép tính giải tích tổ hợp trên trường có đặc số p. Vai trò của U và T thì có thể hiểu như là chúng có cùng chung 1 không gian topo nền, nhưng đại số hàm của chúng khác nhau, cụ thể hơn phép nhúng của ta là 1 phép nhúng nil.
Phủ tinh thể được hiểu như là 1 họ hữu hạn các cấu xạ (biểu đồ vuông giao hoán) và là 1 phủ mở Zariski. Mỗi bó hàm định nghĩa 1 bó , do đó ta có thể lấy đối đồng điều
Câu chuyện trở nên thú vị khi ta biết thêm rằng các không gian đối đồng điều này lập thành 1 họ ngược, và sau khi lấy giới hạn ngược cùng với việc tensor với trường các thương của vector Witt, ta nhận được định nghĩa của đối đồng điều tinh thể
Đối đồng điều tinh thể có đầy đủ các tính chất của 1 Weil lý thuyết. Câu chuyện trở nên càng hấp dẫn hơn khi ta xét Frobenius tuyệt đối (xem lại topic [Only registered and activated users can see links. ] về các anh chàng Frobenius). Cảm sinh của Frobenius tuyệt đối trên đối đồng điều tinh thể cùng với lý thuyết của Dieudone-Manin sẽ đưa ra đến rất gần với lý thuyết Fontaine.
Trước khi tạm ngừng ở bài post này, tôi muốn đưa bạn đến điểm mấu chốt rất quan trọng khi thực hành tính toán đối đồng điều tinh thể. Nắm điều này xong, chúng ta hoàn toàn có thể quên đi cách xây dựng phức tạp về topo tinh thể, tuy nhiên nếu cẩn thận thì bạn vẫn nên học theo bài giảng của Berthelot. Giả sử bây giờ ta có 1 phép nhúng đóng của lược đồ trên , với giả thiết là trơn. Vậy thì Berthelot bảo với chúng ta rằng:
Ta có thể cộng thêm các PD vào ideal của phép nhúng này sao cho ta nhận được 1 phép phân tích của thông qua 1 lược đồ . Cấu xạ là 1 cấu xạ affine cùng với 1 liên thông khả tích (integrable connection) trên bó cấu trúc của nó. Bởi vậy người ta có thể định nghĩa được phức De Rham của với hệ số là bó cấu trúc của , cụ thể là phức:
Do tính chất PD nói trên, D và X đều có cùng 1 không gian nền topo, vậy nên sau khi lấy siêu đối đồng điều (hypercohomology), người ta nhận được 1 đẳng cấu
Đẳng cấu này giúp ta tính toán đối đồng điều tinh thể dễ dàng hơn. Tuy nhiên như đã nói, Berthelot định nghĩa đối đồng điều tinh thể tổng quát hơn rất nhiều. Bài viết này chỉ dựa vào các facts được nêu lên trong 1 lecture của Luc Illusie. Tóm lại ta có thể xem đối đồng điều tinh thể như là đối đồng điều De Rham, quan trọng hơn, ta sẽ ứng dụng nó vào từng trường hợp cụ thể ra sao.
thay đổi nội dung bởi: Le Dang Thi NGUYEN, 07-13-2009 lúc 04:05 PM
1 cách tự gọi hóm hỉnh nhưng không mỉa mai, tôi muốn cùng các bạn hôm nay dạo chơi đến thăm quan cái gọi là "nơi chốn" của Grothendieck. Nếu có chút thời gian xin các bạn ghé vào [Only registered and activated users can see links. ] để nghe giảng kinh kệ của Hòa thượng Thích Học Toán rất cụ thể giới thiệu 1 ví dụ về anh bạn phạm trù tí hon.
Phạm trù trong tiếng anh là Category, vậy nên ta không ngần ngại ký hiệu trong bài này cho 1 phạm trù "mông lung" nào đó. Ta gọi nó là "tí hon" địa phương, hay địa phương nhỏ (tùy theo sở thích cách dụng ngữ và lối hành văn của bạn), nếu cứ có 2 vật và thì tất cả các cấu xạ giữa chúng lập thành 1 tập hợp. gọi là nhỏ hay tí hon hay bé bỏng, nếu nó nhỏ địa phương, và thêm vào đó lớp các vật cũng làm thành 1 tập hợp.
Có 1 phạm trù "mông lung" bất kỳ , ông Grothendieck định nghĩa được 1 tiền tô pô (pre-topology) trên nó, và người ta cũng kính mến gọi nó là tiền tô pô Grothendieck, với các tiên đề mô phỏng lại khái niệm tô pô thông thường của 1 không gian. Cụ thể hơn tiền tô pô được cho bởi 1 lớp các vật trong phạm trù đang xét mà ta sẽ gọi nó là phủ, tức là ứng với mỗi vật , ta xét 1 họ hữu hạn các cấu xạ thỏa mãn
(1) Mỗi 1 đẳng cấu đơn lẻ giữa vật thể làm thành 1 họ phủ với đúng 1 phần tử.
(2) Nếu trong phạm trù đang xét ta định nghĩa được tích thớ (trên thực tế tích thớ luôn tồn tại 1 cách phổ dụng, kể cả khi ta xét những phạm trù rất tổng quát như phạm trù các tập hợp), vậy thì họ phủ sẽ ổn định với phép kéo (pullback).
(3) Mỗi 1 họ phủ của 1 vật sẽ có 1 phép làm mịn, sao cho khi hợp lại, họ mịn vẫn làm thành 1 phủ của vật đó.
Nếu ký hiệu là tiền topo Grothendieck, cặp với phạm trù nền đang xét lập thành 1 khái niệm gọi là Định Vị (Site).
Thông thường thì người ta xét phạm trù nhỏ, nhưng nếu ta muốn làm việc với các phạm trù không nhỏ, chẳng hạn phạm trù các lược đồ, thì người ta thường phải đặt thêm điều kiện lên định vị, cụ thể là tồn tại 1 lớp các vật sao cho làm thành 1 tập hợp, và ứng với mỗi vật thì tồn tại 1 họ phủ của nó nằm trong . Tập hợp này được gọi là tập sinh tô pô của 1 định vị. Ví dụ về các định vị lớn kiểu này có thể lấy Định vị phẳng rộng (big flat site), hoặc h-topo của Voevodsky (sinh bởi các cấu xạ topo toàn ánh phổ dụng, rất gần với các phép phẫu thuật của De Jong).
Ông Grothendieck định nghĩa tiền bó trên 1 định vị như là 1 hàm tử phản biến từ phạm trù nền lấy giá trị trên 1 phạm trù "mông lung" nào khác, chẳng hạn phạm trù các tập hợp. 1 điều lưu ý nhỏ là nếu phạm trù nền là 1 phạm trù nhỏ, thì phạm trù các tiền bó sẽ nhỏ địa phương, nhưng nếu phạm trù nền chỉ nhỏ địa phương thì phạm trù các tiền bó không nhất thiết phải nhỏ địa phương.
Điều này khiến ông Grothendieck trăn trở đi đến khái niệm Vũ trụ(universe) (xin phép không đề cập tại đây), và ông chỉ ra rằng phạm trù các tiền bó sẽ làm thành 1 Vũ trụ phạm trù (U-category). Xin nói thêm, trong bài báo K-lý thuyết đại số và đối đồng tinh thể của ông Bloch có thể lấy ở trang numdam, ông Bloch có viết, rằng ông Bloch không muốn rời khỏi thế giới vũ trụ của ông ta hiện đang sống, vậy nên xin bắt chước chôm chỉa lại câu nói này của ông, chúng ta chỉ "trừu tượng nhảm nhỉ" trong khuôn khổ của diễn đàn.
Quan điểm về hàm tử khả diễn (representable functor), cho phép ta thay vì quan sát độc lập 1 vật , thì có thể xét , và đây là 1 tiền bó. Điều này dẫn ông Grothendieck đi tới khái niệm Sàng (Sieve). Các phương pháp sàng được phát triển trong SGA4, và nó hoàn toàn tương đương với khái niệm tiền topo Grothendieck trên 1 định vị mà ta đề cập ở trên.
Quan điểm của ông Grothendiec cho rằng Định Vị hoặc Sàng vẫn chưa đủ tốt (với tác giả của bài viết này, tôi cũng không hiểu nó không tốt ở điểm nào, Định Vị nó khá gần mặt đất hơn là so với khái niệm Vũ trụ), nên ông sáng chế ra khái niệm "nơi chốn" (topos) với nguyên tắc triết học là: Nhiều định vị khác nhau cùng đưa đến 1 "nơi chốn" tương đương, và "nơi chốn" sẽ đưa ta đến "hình học" cần tìm (tức đối đồng điều).
Cụ thể hơn người ta thường xét 1 Định vị nhỏ , và trên đó phạm trù các Bó. 1 nơi chốn Grothendieck được xem như 1 phạm trù "mông lung" bất kỳ nào đó, mà nó tương đương với phạm trù các bó của 1 định vị nhỏ này. Lý thuyết nơi chốn được phát triển mạnh trong logic/phạm trù mẫu, nên để phân biệt với các nơi chốn cơ bản (elementary topoi), ta sẽ chỉ xét "nơi chốn" Grothendieck, và từ giờ trở đi, topoi nghĩa là Grothendieck topoi.
Hạ chân xuống đất, để bớt tung tăng trên mây dưới gió làm bạn với chị Hằng Nga, tôi muốn trong những bài tới đề cập về 1 số vấn đề sau:
(1) Định vị tinh thể (crystalline site)
(2) Phương Định tinh thể (Crystalline Topos)
(3) Cấu trúc lũy chia trên ideal/đại số (power divided), tức là ta đưa vào 1 cách hình thức biểu tượng , để có thể biến hóa được giải tích tổ hợp trên trường có đặc số .
(4) Phức De Rham-Witt (theo Illusie).
(5) Tinh thể (crystal) (hiểu như khái niệm module) và Đẳng tinh thể (isocrystal) (nếu có thể).
(6) Đa giác lồi kiểu Hodge và Đa giác lồi Newton.
Ps: Có ai biết dùng từ nào thì phù hợp với topos không hơn nhỉ? Từ nơi chốn nghe có vẻ hơi dân dã hoang sơ, cũng có thể dùng "Phương Định" chăng?
thay đổi nội dung bởi: Le Dang Thi NGUYEN, 07-20-2009 lúc 10:53 AM
Xin mạn phép thay từ "nơi chốn" thành trận đồ. Sở dĩ vậy, tôi nghĩ là lý do thế này. Trên phạm trù Định Vị, ta có thể xét phạm trù Bó, 1 cách hình tượng ta có thể xem Bó theo đúng nghĩa thông thường của nó. Mỗi bó như 1 thân cây, và khi xét cả 1 rừng cây, thì có thể mường tượng ví von như 1 trận đồ.
1 lưu ý nhỏ, thực ra khái niệm Sàng cũng rất hình tượng. Như ta vẫn thường thấy Sàng lúa Sàng thóc vậy. Trên thực tế "Sàng" của tây không gì khác hơn 1 cái vợt (dùng để hớt bọt bẩn trên bề mặt của nồi súp chẳng hạn). Tôi không dùng từ "Vợt" cho sieves vì sợ nhầm sang Vợt bóng bàn, vợt Tennis.
Trận đồ vô cùng bé và Trận đồ phân tầng, động lực phát triển Trận đồ tinh thể và Trận đồ liên thông
Cách tiếp cận hình học của ông Grothendieck là đối đồng điều, và đối đồng điều được sản sinh bởi các trận đồ trên định vị nhỏ. Ngoài những lý do về việc tìm hiểu thành tố p-xoắn, thì về mặt lịch sử mà nói, khi tiếp cận giả thuyết Weil, Dwork đã sử dụng giải tích p-adic. Điều này cũng là lẽ tự nhiên để phát triển 1 lý thuyết p-adic.
Bước thí nghiệm đầu tiên là để đơn giản hóa ta đi từ mô hình trên trường phức, tức 1 lược đồ . Ông Grothendieck bảo rằng 1 Định vị vô cùng bé (hay Định vị vi phân) là phạm trù có các vật là 1 phép làm dầy vô cùng bé nilpotent , với là 1 tập mở Zariski của . Cấu xạ giữa các vật cho bởi 1 biểu đồ vuông giao hoán, mà cứ 1 mỗi tên từ điểm xuất phát tới điểm đích là 1 phép bao
Ngoại trừ là 1 cấu xạ bất kỳ sao cho cứ ghép lại thì ta có 1 biểu đồ giao hoán như thế. Topo trên Định Vị vô cùng bé này được sinh bởi tiền topo mà họ các phủ được cho bởi phủ Zariski mở và .
Trận đồ vô cùng bé là phạm trù các bó trên Định Vị vô cùng bé, chúng được cho bởi 1 hệ các bó trên topo Zariski của cùng với 1 vài tính chất thỏa mãn cho phép kéo bó. Cụ thể hơn, nếu ta có cấu xạ trong phạm trù Định vị vô cùng bé
và 1 đồng cấu bó của nghịch ảnh
Sao cho đồng cấu này trở thành 1 đẳng cấu nếu là 1 phép nhúng mở. Bây giờ ta đi đến 1 khái niệm trung tâm của lý thuyết trận đồ, đó là trận đồ vành, đơn giản, 1 trận đồ cùng với 1 bó vành làm thành 1 trận đồ vành (ringed topoi).
Ta định nghĩa bó vành cấu trúc của trận đồ vành như là hàm tử
Như vậy ta có 1 trận đồ vành vô cùng bé . Trong phạm trù trận đồ vô cùng bé, nếu có 1 vật (có thể xem là bó) thì ta có thể định nghĩa được hàm tử toàn cục
Xin nhớ lại trong lý thuyết trận đồ là cho 1 cấu xạ giữa 2 trận đồ đồng nghĩa với việc cho 1 hàm tử giữa 2 phạm trù cùng với hàm tử đẩy (liên hợp trái của hàm tử kéo). Trừu tượng nhảm nhí nói với chúng ta rằng phạm trù các module của bó vành làm thành 1 phạm trù abel có đủ vật nội xạ, do đó có thể lấy hàm tử dẫn xuất để định nghĩa đối đồng điều vô cùng bé
Định lý cơ bản của Grothendieck nói rằng đối đồng điều vô cùng bé đẳng cấu với đối đồng điều De Rham
Thực tế định lý này của Grothendieck cũng như Trận đồ vô cùng bé có thể mở rộng sang nội dung tương đối với lược đồ cơ sở có đặc số 0.
Để chứng minh định lý so sánh này, (mặc dù Grothendieck viết là hiển nhiên), nhưng ông ta vẫn phải đưa vào khái niệm Trận đồ phân tầng. Trước hết Định Vị Phân Tầng là 1 phạm trù con đầy đủ của Định Vị Vô Cùng Bé , sao cho với mỗi vật thì tồn tại 1 phép co địa phương. Và tương tự hệt như trên ta có 1 lý thuyết đối đồng điều phân tầng.
Trong lý thuyết 2 trận đồ này, Grothendieck đưa ra khái niệm Module "đặc biệt", sau này xuất hiện lại trong đối đồng điều tinh thể của Berthelot dưới dạng Crystal (Tinh thể). Để chuyển 1 lý thuyết đặc số 0 sang 1 lý thuyết đặc số p (ít nhất trường phải hoàn hảo), thì Betherlot sử dụng nguyên ý tưởng Trận đồ vô cùng bé, nhưng kết hợp với 1 loại "mô đi fê" giải tích Taylor, đó là cấu trúc PD (Lũy chia) trên idean.
thay đổi nội dung bởi: Le Dang Thi NGUYEN, 07-20-2009 lúc 01:22 PM
Chúng ta bắt đầu đi vào cụ thể về lý thuyết tinh thể, bằng việc khởi động với cấu trúc lũy chia trên 1 iđêan. Cho là 1 vành, và là 1 idean. 1 cấu trúc lũy chia trên là 1 họ các ánh xạ sao cho
(i) và ;
(ii) ;
(iii) ;
(iv) ;
(v) ;
(vi) ;
(vii) ;
Lưu ý rằng ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng .
Ví dụ không tầm thường mà quan trọng với chúng ta đó là cấu trúc lũy chia trên vành Witt của 1 trường đặc số p. Cho là 1 trường đặc số p hoàn hảo, và vành Witt của . Nhắc lại, trên phương diện tập hợp ta định nghĩa . Phép cộng và phép nhân trên tập này được định nghĩa như sau:
Nếu có 2 phần tử và trong , vậy thì tổng của chúng được cho bởi
,
trong đó là đa thức cho bởi công thức quy hồi như sau:
(1)
(2)
Còn phép nhân thì được định nghĩa bởi
,
với là đa thức được định nghĩa theo công thức truy hồi:
(1)
(2)
Ta có 1 ánh xạ
gửi 1 bộ vào , trong đó được định nghĩa như là Witt vector
Chú ý rằng ánh xạ này sẽ là song ánh nếu nghịch đảo trong . Bây giờ ta có 1 đồng cấu vành toàn cấu , bằng cách quên đi tọa độ thứ , và do đó có thể định nghĩa vành Witt như là giới hạn ngược của hệ xạ ảnh này
Với , và đặt . Có 2 vấn đề quan trọng xung quanh vành Witt, đó là đại biểu Teichmüller và cấu xạ Frobenius cùng với phép dịch chuyển tọa độ, ta sẽ đề cập lại chúng sau.
Quay trở lại với cấu trúc lũy chia trên vành Witt. Ta xét ideal . Đây là 1 ideal cực đại, thực thế, ta có . Hơn nữa ta cũng biết vành Witt của 1 trường hoàn hảo đặc số p tồn tại duy nhất (sai khác 1 đẳng cấu) và là 1 vành định giá rời rạc đặc số 0. Do đó là idean cực đại duy nhất của . Hơn nữa ta cũng biết vành Witt là hoàn toàn không phân nhánh (absolutely unramified). Giá p-adic nếu và khác 0 nếu . Do đó là 1 cấu trúc lũy chia trên ideal cực đại của vành Witt
Lưu ý, tổng quát hơn, với mọi vành định giá rời rạc có đặc số 0 với trường thặng dư hoàn hảo đặc số p, thì tồn tại cấu trúc lũy chia trên ideal tối đại nếu chỉ số phân nhánh tuyệt đối thỏa mãn (có thể xem chứng minh trong Berthelot, tính toán không phức tạp lắm).
Ví dụ thứ 2 là các modul tự do. Xét 1 vành vậy thì người ta có thể định nghĩa được 1 cấu trúc lũy chia trên -đại số
Với là -modul sinh bởi với , trong đó ta ký hiệu ngầm hiểu với nhau rằng . Cấu trúc đại số được cho bởi công thức
Ideal sẽ sở hữu 1 cấu trúc lũy chia sao cho .
thay đổi nội dung bởi: Le Dang Thi NGUYEN, 07-22-2009 lúc 10:45 AM
Lý thuyết Hodge p-adic 
