Đối xứng gương và đối đồng điều lượng tử

**Le Dang Thi NGUYEN** · #1 (**permalink**) 09-27-2009

xxx
Mời các bác liên quan đến lãnh vực này vào đây thảo luận

~~Whitebear.~~ · #2 (**permalink**) 09-30-2009

Hôm nay đẹp trời, nấu được một nồi canh rau cải với gừng rất ngon, ăn năm bát cơm nên rất hứng chí, giới thiệu cho mọi người một chiêu thức mới, đó là hình học suy rộng.

Motivation:
Mục tiêu chính của hình học phức suy rộng (Generalized Complex Geometry, viết tắt GG) là nhằm mục tiêu thống nhất hai lý thuyết lớn trong toán học là hình học symplectic và hình học (hầu) phức. Đối xứng guơng là một hàm tử đưa các lý thuyết A-models (trường lượng tử xoán với đa tạp toric, hình học symplectic) sang bên B-model (trường lượng tử xoắn trên đa tạp phức,(Mô hình Landau-Gizbug)). Đối đồng điều lượng tử cũng được Gang Tian dịnh nghĩa cho phạm trù symplectic và phạm trù complex Variety, như là các biến dạng của đại số đối đồng điều. Do đó, nên có một lý thuyết thống nhất chung hai loại hình học này, và chắc chắn hình học này sẽ giúp hiểu thêm về đối xứng guơng.
GG được định nghĩa lần đầu bới Gualtieri, một học trò của Hittchin, trong luận án tại Oxford năm 2003 và đang được nghiên cứu rất mạnh ở Oxford, Stanford và Berkeley... Xem DG/0401221

Ý tưởng khởi thủy của nó đặc biệt sơ cấp và tầm thường. Một ánh xạ tuyến tính từ R-->R tạo nên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ, nhưng một đuờng thẳng đi qua gốc tọa độ lại không nhất thiết ứng với một ánh xạ tuyến tính, ví dụ trục tung thì ứng với ánh xạ tuyến tính với hệ số góc tiến tới vô hạn. Vì vậy một không gian con một chiều có thể coi như là một ánh xạ tuyến tính suy rộng.

Ý tưởng ở đây là thay vì nghiên cứu các ánh xạ tuyến tính, ta nhìn vào các không gian con Largrange (tức là không gian triệt tiêu bởi một dạng song tuyến tính, có số chiều bằng mọt nửa của không gian). Cụ thể hơn, trên V+V*, tồn tại một dạng song tuyến tính chính tắc.

Một cấu trúc symplectic trên một đa tạp 2n chiều là một dạng vi phân đóng không suy biến. Nói cách khác, trên phân thớ tiếp xúc của M, tồn tại một toán tử A:TM--->TM*. A*=-A

Mặt khác, một cấu trúc hầu phức trên một đa tạp 2n chiều thực hoàn toàn tương đuơng với phép nhân với i, hay nói cách khác một phép quay 90 độ- một toán tử tuyến tính B:TM-->TM sao cho B^2=-I.

Được khích lệ bởi ý tuởng trên, người ta kết hợp hai lý thuyết này lại bằng việc thay vì định nghĩa trực tiếp các toán tử I,J, người ta xét một cấu trúc hầu phức trên phân thớ TM+T*M. Lý thuyết này chứa hình học phức và hình học symplectic như là hai truờng hợp rất đặc biệt.
(-B 0)
(0 B) như trong truờng hợp phức, hay

(0 -A^{-1})
(A 0 )

Hiện nay, đây là một lý thuyết rất mới, có rất nhiều thứ để làm. Ví dụ, ngừoi ta đã xây dựng được định lý Darbour cho đa tạp suy rộng. Người ta cũng định nghĩa được hình học Kahler suy rộng như là sự kết hợp của hai cấu trúc suy rộng giao hoán với nhau.
Mô hình sigma topo của Witten, vốn được định nghĩa cho đa tạp Rieman, sau đó đưa sang đa tạp phức và symplectic để tạo ra các lý thuyết truờng lượng tử, thì nay mới được suy rộng cho đa tạp suy rộng.

Như tôi đã, nói, đây là một hướng phát triển rất là hay để hiểu đối xứng gương. Mặt khác, đối xứng gương, nếu áp dụng cho mô hình sigma, với target manifold là moduli space của các G-bundle over a curve, thì nó lại trùng với geometric Langland duality. Tuy nhiên, có rất nhiều điều tôi chưa hiểu được, khi thi triển T-duality cho các thớ kỳ dị...
(Còn tiếp)

**Le Dang Thi NGUYEN** · #3 (**permalink**) 11-03-2009

	Trích:
	Mô hình sigma topo của Witten, vốn được định nghĩa cho đa tạp Rieman, sau đó đưa sang đa tạp phức và symplectic để tạo ra các lý thuyết truờng lượng tử, thì nay mới được suy rộng cho đa tạp suy rộng.

WB có thể nói rõ đoạn này hơn được không? Từ đa tạp Riemann sang đa tạp phức là 1 vấn đề không nhỏ! Nếu từ diện Riemann sang tổng quát hơn là đa tạp phức thì tôi có thể phần nào hình dung ra sự việc. Và định nghĩa của trường lượng tử (toán học) chính xác là gì?

~~Whitebear.~~ · #4 (**permalink**) 11-04-2009

	Trích:	Le Dang Thi NGUYEN
	WB có thể nói rõ đoạn này hơn được không? Từ đa tạp Riemann sang đa tạp phức là 1 vấn đề không nhỏ! Nếu từ diện Riemann sang tổng quát hơn là đa tạp phức thì tôi có thể phần nào hình dung ra sự việc. Và định nghĩa của trường lượng tử (toán học) chính xác là gì?

Câu trả lời nằm ở SUSY. Khi mà SUSY tác động lên thì sẽ có các điều kiện, mà biến đổi ra thì sẽ thành ra toán tử del bar, do đó sẽ có cấu trúc phức.
Một trong những ví dụ điển hình khác, khi ta compact hóa SUSY N=4 gauge theory theo một diện Rieman 2 chiều, thì khi đó ta sẽ nhận được một sigma model, với đa tạp mục tiêu là một Hitchin Fibration. SUSY tác động lên, và thậm chí đưa cái Hitchin Fibration này trở thành một Hyper Kaeler Manifolds.
Và do đó, Miror Symmetry sẽ xuất hiện ở chỗ này. Vì một Hitchin fibration trong trường hợp này sẽ là một phân thớ xuyến có kỳ dị, nên Mirror symmetry functor sẽ trở thành T-duality functor, và khi mà các thớ ko có kỳ dị thì có thể hiểu được. Nếu mà thớ có kỳ dị, thì tôi không biết cách làm.
Tôi đang định dùng hình học noncommutative và higher để nghiên cứu các kiểu kì dị này.

Theo tôi được biết, cái này có quan hệ rất gần gũi với Langland duality. Nhưng tôi ko biết về Langland duality, nên ko dám nói nhiều.

**Le Dang Thi NGUYEN** · #5 (**permalink**) 11-07-2009

Higher objects thì nghiên cứu được thớ kỳ dị theo kiểu gì? Ở trường hợp đặc số 0, người ta đã có Hironaka, đây là công cụ rất mạnh. Ở trường hợp đặc số p, thì người ta chỉ có Alteration của De Jong, 1 biến thể yếu hơn so với Hironaka. Tôi không thạo món Mirror Symmetry đề bàn luận, nhưng đoán chắc nó có liên quan đến Hodge numbers của 1 đa tạp. Phẫu thuật kỳ dị thường mang lại lợi ích là có thể kết luận về 1 số birational invariants cho trường hợp có kỳ dị được rút ra từ trường hợp trơn.