Một bài toán về Measure Theory

numbertwo · #1 (**permalink**) 11-06-2009

Mình gặp một câu hỏi như thế này, nghĩ là đơn giản mà vẫn chưa làm ra. Bác nào có hứng thử giải xem sao:

Let $(X,\math{B},m)$ be a probability space with $T: X\to X$ a measure-preserving transformation. Suppose that $s: X\to \R$ is measurable mapping satisfying $sT(x)\geq s(x)$ for a.e $x\in X$ . Then $sT(x)= s(x)$ for a.e $x\in X$ .

~~Whitebear.~~ · #2 (**permalink**) 11-06-2009

Bài này xem nào. Giả sử S là một tập nào đó có sT(x)>s(x), và có độ đo dương. Thế thì ta xét sT^n(S), rồi bằng cách cắt ra một đoạn epsilon S' từ S, ta tìm cách chứng minh sT^n(S') tiến ra vô hạn, mâu thuẫn với điều kiện bị chặn của độ đo xác xuất là xong.

numbertwo · #3 (**permalink**) 11-06-2009

Em chưa rõ lắm ý bác Whitebear, vì việc "sT^n(S') tiến ra vô hạn" không liên quan gì đến "điều kiện bị chặn của độ đo xác xuất" cả. Một hướng em đang nghĩ là dùng Poincare Recurrence Theorem, hi vọng sẽ ok.

**bearkiller** · #4 (**permalink**) 11-06-2009

Mình có ý này. Đặt X (x) = s(x), Y = s( T(x) ).
Vì T là ánh xạ bảo toàn độ đo nên X và Y có cùng phân phối.
Do đó EX = EY
Cộng thêm điều kiện X <= Y a.s.
Suy ra X= Y a.s.