Số phần tử của hệ sinh của Modules

quockhanh · #1 (**permalink**) 11-08-2009

Như các bạn đã biết, trong không gian vecto có định nghĩa số chiều là lực lượng của cơ sở,trong lý thuyết module ta cũng có định nghĩa tương tự như vậy cho module tự do trên vành giao hoán,có đơn vị. Còn những module không có cơ sở thì sao?Nếu tôi định nghĩa số chiều của module là minimum lực lượng của các tập sinh thì có thể chấp nhận được không?Xin các bạn đóng góp cho những thắc mắc của mình,xin cám ơn các bạn rất nhiều! Chúc các bạn nhiều luôn vui vẻ và nhiều sức khoẻ!

**Le Dang Thi NGUYEN** · #2 (**permalink**) 11-08-2009

	Trích:	quockhanh
	Như các bạn đã biết, trong không gian vecto có định nghĩa số chiều là lực lượng của cơ sở,trong lý thuyết module ta cũng có định nghĩa tương tự như vậy cho module tự do trên vành giao hoán,có đơn vị. Còn những module không có cơ sở thì sao?Nếu tôi định nghĩa số chiều của module là minimum lực lượng của các tập sinh thì có thể chấp nhận được không?Xin các bạn đóng góp cho những thắc mắc của mình,xin cám ơn các bạn rất nhiều! Chúc các bạn nhiều luôn vui vẻ và nhiều sức khoẻ!

Thế module không hữu hạn sinh thì minimum của lực lượng của các tập sinh là gì?

~~Whitebear.~~ · #3 (**permalink**) 11-09-2009

Định nghĩa thì được thôi, nhưng vấn đề là để làm gì?

quockhanh · #4 (**permalink**) 11-09-2009

Đó là định nghĩa của một giảng viên đại học, khi xét ở không gian vecto thì định nghĩa đó hoàn toàn hợp lý với định nghĩa số chiều của không gian vecto, việc định nghĩa như vậy là để nhằm mục đích sau:

Trong không gian vecto ta có định lý chiều: dim(A + B) = dimA + dimB - dim(A giao B).

Vậy trong lý thuyết module định lý đó còn đúng không nếu sử dụng định nghĩa như vậy! Nếu không đúng thì chỉ ra phản ví dụ để làm sáng tỏ.

Hình như nó chỉ đúng cho module hữu hạn sinh trên vành chính. (Ở đây xét định nghĩa đó cho module hữu hạn sinh, còn module không hữu hạn sinh thì không xét tới). Tôi đã thấy có nhiều sách viết về lý thuyết chiều trong module nhưng tôi chưa thấy có định nghĩa nào như vậy. Thầy tôi nói: định nghĩa đó là do Thầy tự nghĩ ra.

Thật tình tôi đang gặp nhiều nhiều khó khăn khi không nghĩ ra được nhiều phản ví dụ (Thầy gợi ý:định lý chiều đó không đúng cho module tự do trên vành bất kỳ, module tự do con của module tự do khác thì không đúng). Ngoài ra Thầy còn gợi ý thêm: nhóm abel hữu hạn phân tích thành tổng trực tiếp các p-nhóm, mà các p-nhóm phân tích thành tổng trực tiếp các p-nhóm xyclic. Vậy số chiều của nhóm abel hữu hạn sinh? Từ đó mà suy ra số chiều của module hữu hạn sinh khi cũng có sự phân tích như vậy (định lý phân tích nguyên sơ).

Thành thật mà nói sự giúp đỡ của các bạn trong lúc này đối với mình là rất quý báu. Xin cám ơn các bạn rất nhiều!

~~Whitebear.~~ · #5 (**permalink**) 11-09-2009

Lấy thử cái Z/2Z, Z/3Z over Z, trong Z/6Z xem sao. Đó là một phản ví dụ đẹp.

Về cách tổng quát hóa kiểu đấy, tôi không dám chắc là sẽ đi đến đâu, hoặc ngoài tầm hiểu biết của tôi. Cũng là ý kiến của một giảng viên đại học.

quockhanh · #6 (**permalink**) 11-10-2009

Xin cám ơn whitebear. Vậy whitebear có tài liệu nghiên cứu nào mà nói tới lực lượng tập sinh của module hữu hạn sinh không?
Nếu được xin whitebear chỉ cho tôi cách chứng minh 1 ý sau:
p(R/(a)) = (p) + (a) / (a) (với p là số nguyên tố, R là miền ideal chính).
Một lần nữa xin cám ơn whitebear rất nhiều, xin lỗi whitebear là anh hay chị!

~~Whitebear.~~ · #7 (**permalink**) 11-10-2009

Hehe, hóa ra đây là SV đại học rồi. Mấy cái này đi hỏi mấy ông ĐS GH đi. Mấy ông ấy thạo cái này. Đầu bài quá khó hiểu.
Mà đây là nhờ giải bài tập à? Nếu nhờ giải BT thì vào diễn đàn toán học nhé.
Có người trả lời hộ này.

	Trích:
	thu nhat trong dai so giao hoan khi xet R la vanh dia phuong M la R module huu han sinh thi M/mM la R/m-khong gian vec to do do so phan tu sinh toi tieu cua M la nhu nhau theo bo de Nakayama tron dai so giao hoan (co the sem Matsumura quyen commutative ring theory theorem2.3). trong truong hop khac thi co vi du la khong duoc ngay nhu khi xem M=R va trong R co hai phan tu x,y khong kha nghich sao cho x+y=1 thi {1} va {x,y} la co so toi tieu nhung kho co cung so phan tu sinh

**rungkut** · #8 (**permalink**) 11-10-2009

theo tớ khái niệm chiều phải định nghĩa cho một không gian với một tô pô trên đó. Ví dụ một không gian tôpô noether thì chiều là độ dài cực đại của các dãy lồng nhau các tập đóng bất khả qui. Một không gian véctơ V trên một trường k thực ra có hai cấu trúc.
-Một: V là tập các k-điểm của không gian affine $A^n$ , do đó V với tôpô Zariski cảm sinh từ $A^n$ có thể định nghĩa khái niệm chiều, đó chính là n là chiều như chúng ta vẫn biết.

-Hai: V có cấu trúc k-tuyến tính giống như một mô đun trên một vành. Nếu nhìn từ khía cạnh này thi theo tớ V không có khái niệm chiều.

Tương tự như vậy, đối với một mô đun thực ra chúng ta không cần quan tâm đến chuyện có cần định nghĩa khái niệm chiều hay không, vì cơ bản đó là hai thứ khác nhau. Trong lý thuyết vành giao hoán, số nhó nhất cuả hệ sinh của một mô đun M trên một vành R là một bất biến rất quan trọng, mang rất nhiều thông tin về mô đun đó. Khi R=k, M=V thi số đó bằng dim(V) đơn giản chỉ là một .. tai nạn

. Các bạn để ý là trong đại số tuyến tính tai nạn này không phải là hiển nhiên, mà thực ra đó là một định lý và phải chứng minh. Chú ý ở đây dim(V) được hiểu là độ dài cực đại dãy các không gian tuyến tính con lồng nhau, và định lý phát biểu rằng nó bằng lực lượng tối tiểu của các hệ sinh.
Ví dụ về một dãy khớp mà số phần tử của hệ sinh tối tiểu có quan hệ không đẹp nhu trong không gian véc tơ có thể lấy dễ dàng là: $0 \rightarrow I \rightarrow R \rightarrow R/I \rightarrow 0$ , trong đó I là một iđêan của R. Ở đây R chỉ sinh bằng một phần tử, còn I có thể tuỳ ý

.

quockhanh · #9 (**permalink**) 11-11-2009

Trước tiên, tôi xin chân thành cám ơn các bạn đã chỉ giúp cho tôi. 1 ý mà tôi nhờ whitebear giải dùm không phải là bài tập mà đó là một ý chứng minh trong bổ đề tôi đã đọc, nội dung bổ đề:

Cho R là P.I.D, p là số nguyên tố. Cho M = R/(a), a thuộc R. Thì
(1) M/pM đẳng cấu R/(p) nếu p ước của a, 0 nếu p không ước của a.
(2) M = R/(a1) + R/(a2) + ... + R/(ak) với p là ước của ai (xin lỗi tôi không biết đánh chỉ số dưới như thế nào, ở đây 1,2,..,k,i là các chỉ số dưới và tổng ở đây là tổng trực tiếp) thì M/pM đẳng cấu với (R/(p)) mũ k. (Xin chỉ cho tôi cách đánh công thức toán học ở đây nhé). Từ đó ta sẽ có được số chiều của M bằng k

Thật không đúng khi phải hỏi như vậy nhé whitebear, khi mình không có cách giải thích thì nên hỏi ngưới khác đúng không? Nhưng dù sao cũng cám ơn whitebear nhiều lắm.

Còn Rungkut, tôi cũng xin cám ơn. Đối với module tự do trên vành giao hoán thì ta có khái niệm rank, còn đối với những module hữu hạn sinh không phải module tự do thì các tập sinh cực tiểu chưa chắc có lực lượng bằng nhau, chính vì thế mà có định nghĩa số chiều của module là minimum lực lượng của các tập sinh, khi chuyển về không gian vecto thì định nghĩa này hợp lý.

Có lẽ các bạn thấy mình gặp khó khăn ra sao khi phải chấp nhận một định nghĩa mới về số chiều của module của một giảng viên đại học sư phạm thành phố hồ chí minh. Đây chính là đề tài luận văn thạc sĩ của mình "Lý thuyết chiều các module hữu hạn sinh và công thức số chiều cho những module". Nội dung đề tài là: đưa ra định nghĩa số chiều của module như đã đề cập ở trên và chỉ ra nhiều ví dụ, tiếp theo là chỉ ra số chiều của module dựa vào: module phân tích thành tổng trực tiếp các module xyclic. Một điều quan trọng là tìm ra nhiều phản ví dụ để chứng tỏ định lý chiều trong không gian vecto không còn đúng nữa (dim(A + B) = dimA + dimB - dim(A giao B)).

Có lẽ đây là đề tài mới,mà để tìm ra cái mới là một điều không dễ dàng chút nào đối với người học Toán. Tôi hỏi các bạn vì tôi muốn xem định nghĩa này các bạn đã thấy ở đâu chưa? Tôi chỉ thấy trong tài liệu tiếng Anh: abstract algebra của Dummit và Foote có định nghĩa rank của module là số lớn nhất những phần tử độc lập tuyến tính của M.

Xin cám ơn các bạn đã đọc và cho mình nhiều ý kiến quý báu.

~~Whitebear.~~ · #10 (**permalink**) 11-11-2009

Vì không phải lãnh vực của tôi, nên tôi không dám khẳng định liều. Nhưng đúng là minimum của số các generator sẽ là một bất biến quan trọng (chắc là có tên)
Tôi hiểu một module như là một quasi-coherent sheaf over some schemes, và cái bất biến này sẽ đặc trưng cho cái sheaf đó. Nhưng tôi thì ko nghĩ rằng ý nghĩa của nó lại nằm ở số chiều.
Về cái dãy khớp phía trên, ta có thể sử dụng nó để lấy ví dụ quasi-coherent sheaf như là stalk tại một điểm, đến từ cokernel của ánh xạ exp : C--- > C. Khi đó cái này nó sai ngay.

Tôi thành thật mà nói, tôi không nghĩ cái này nó sẽ đi đến một cái gì đó đủ sâu, hoặc ít nhất là ngoài tầm hiểu biết của tôi, vì tôi cảm thấy nó đi sai đường.