K-lý thuyết đại số đã từ lâu được sử dụng rộng rãi trong cả số học lẫn hình học. Chẳng hạn chứng minh đầu tiên của Gabber về giả thuyết thuần chủng tuyệt đối của Grothendieck (absolute purity) phải sử dụng tới công cụ K-lý thuyết đại số.
K-lý thuyết cũng được áp dụng rộng rãi trong số học về việc nghiên cứu nhóm Brauer và cản trở Manin-Brauer, đây là 1 topic đáng quan tâm. Tuy nhiên để khởi động cho topic này, tôi chỉ đề cập đến ý tưởng của Bloch áp dụng K-lý thuyết đại số vào hình học.
Thứ nhất: Trong topic về lý thuyết p-adic Hodge tôi đã đề cập 1 lần với các bạn về đối đồng điều tinh thể (crystalline cohomology), định nghĩa bởi Grothendieck, và phát triển bởi Berthelot. Tuy nhiên Bloch nhanh chóng phát hiện ra mối quan hệ giữa K-lý thuyết và đối đồng điều tinh thể thông qua bó các đường cong đặc trưng trên K-lý thuyết bậc cao của Quillen. Sau đó các công trình của Illusie về đối đồng điều De Rham-Witt cho thấy, bó Hodge-Witt không gì khác hơn là module các đường cong đặc trưng trên K-lý thuyết của Bloch.
Thứ nhì: Người ta đã biết đối đồng điều Zariski của bó K-lý thuyết Quillen đẳng cấu với nhóm Chow
Lưu ý, nếu bạn thích, thì vế trái của đẳng cấu này cũng chính là 1 trường hợp đặc biệt của đối đồng điều motivic của Voevodsky. Điều này dẫn tới việc Bloch đưa các kỹ thuật của K-lý thuyết đại số vào việc nghiên cứu tính chất số học (điểm hữu tỉ) của mặt số học (arithmetic surfaces). Trên thực tế thì mục đích ban đầu của Bloch là tấn công giả thuyết của chính ông ta về các chu trình 0 trên 1 mặt đại số (algebraic surfaces), sau này Saito, Kato, Jannsen...phát triển thêm tiếp sang số học...
Dự định của tôi viết cho topic sẽ là 1 long term discussion về các objects sau:
(1) Trường địa phương, nhóm Brauer, đối đồng điều Galois
(2) lý thuyết trờm lước không phân nhánh của mặt số học
(3) K-lý thuyết đại số
(4) Ứng dụng của K-lý thuyết đại số.
Trên thực tế thì mục đích chính chỉ xoay xung quanh của mặt hoặc của trường (có sử dụng giả thuyết Milnor được chứng minh bởi Voevodsky). Trường ở đây tôi cũng sẽ chỉ xét , trường có chiều đối đồng điều không lớn hơn 2.
Tất nhiên tầm áp dụng của K-lý thuyết vượt xa những gì tôi biết, bác nào biết thì xin mời tự nhiên thoải mái đóng góp ý kiến.
We thank Le Dang Thi NGUYEN for this original paper:
Anh Thi viết tiếp topic này đi, em rất hưởng ứng. K-lý thuyết đại số là một trong những thứ trong danh sách xoá mù của em từ lâu, nhưng chưa có giờ để nghịch. Đặc biệt nếu có trực quan gì từ tôpô đại số thì mong anh nhấn mạnh. Theo những gì viết ở trên, có vẻ là chỉ những nhóm K bậc thấp xuất hiện trong số học? Một ví dụ mà xuất hiện là trong lý thuyết Iwasawa không giao hoán, để accomodate cho các L-hàm p-adic (nhưng chi tiết thì em chịu, có lẽ phải xem mấy bài của anh Mahesh Kakde).
Cảm ơn Bảo đã khích lệ! anh đang phải chuẩn bị báo cáo seminar nên chưa tiếp tục được với topic, thứ 5 này báo cáo xong, sẽ thư thả lên viết tiếp.
Anh nghĩ là cũng giống Galois cohomology, thì K-lý thuyết đại số trong số học xuất hiện phần nhiều là và do người ta hiện thời còn có thể nghiên cứu, cho dù cũng vẫn đủ khó. Bậc cao hơn anh e là khó quá.
Bạn có thể nghiên cứu từ từ thêm về anh bạn [Only registered and activated users can see links. ] ở Blog của Hoà Thượng Thích Học Toán, topic này chúng ta cũng sẽ cần phải từ từ làm quen dần với bé Phù Đổng này
------------------------------------------------
Bài này tôi muốn viết về 1 kết quả cổ điển đã được biết từ Bombieri, Enriques,... và được trình bầy tỉ mỉ trong cuốn Enriques surfaces của Dolgachev, như là 1 motivation xuất phát từ hình học với úng dụng của K-lý thuyết.
Trong hình học của lý thuyết mặt trên 1 trường đóng đại số người ta có khái niệm số chiều Kodaira được định nghĩa thông qua vành chuẩn tắc như sau:
Mặt Enriques trên 1 trường đóng đại số được định nghĩa là có số chiều Kodaira bằng 0. Trên thực tế thì mặt Enriques có 1 phủ 2-1 là mặt K3 (Calabi-Yau, nên phân thớ chuẩn tắc của K3 tầm thường), do đó phân thớ chuẩn tắc của mặt Enriques thoả mãn . Điều này đóng vai trò rất quan trọng và đặc biệt trong việc phân loại mặt Enriques, vì khi trường có đặc số 2, ta sẽ có 1 loại mặt Enriques khác với mặt Enriques cổ điển.
Trước hết nếu định nghĩa trên 1 trường đóng đại số với , vậy thì các bất biến quan trọng có thể tính thông qua đối ngẫu Poincare và công thức Noether của mặt. Ký hiệu là số Betti của X, vậy thì đối ngẫu Poincare cho ta biết , và từ công thức Noether ta có . Giống hình học và irregulator . ( Ở đây ta giả thiết , nếu bạn muốn xét cả trường hợp , thì có thể dùng đối đồng điều De Rham-Witt (xem trong Illusie về bài báo Dẫy phức de Rham-Witt và đối đồng điều tinh thể)
Nếu trường có đặc số 2, thì sẽ xẩy ra . Tuy nhiên trong cả 2 trường hợp thì do phủ là 1 mặt K3 có phân thớ chuẩn tắc tầm thường nên
Do đó Enriques là 1 ví dụ thú vị về 1 loại mặt thoả mãn điều kiện Hodge nhưng không đơn liên (nhóm cơ bản etale không tầm thường). Lưu ý trong trường hợp dùng đối đồng điều tinh thể (hệ số p-adic) thì sẽ không triệt tiêu.
Trên trường đóng đại số , do đó theo lý thuyết nhóm Brauer của Grothendieck ta cũng tính được . Mặt khác trên trường đóng đại số thì 1 thực tế là mọi mặt Enriques đều là 1 phân thớ elliptic, theo kết quả của Bloch thì loại mặt này sẽ thoả mãn giả thuyết Bloch về 0-chu trình, do đó .
Tuy nhiên ta muốn rời khỏi trường đóng đại số để nghiên cứu số học, trước hết ta hãy định nghĩa bó K-lý thuyết trên topo Zariski như là hàm tử . Bloch chứng minh được rằng
Hiển nhiên là trên trường không đóng đại số thì ta không thể kết luận , cũng như không thể xem mặt Enriques như là 1 phân thớ elliptic. Tuy nhiên ta có thể liên hệ được K-lý thuyết của mặt này về Milnor K-theory của trường (Cái này tôi sẽ đề cập ở các bài sau cụ tỉ như thế nào, sau khi đã có đối đồng điều Galois và lý thuyết trờm lước không phân nhánh).
Trên thì hình học của mặt Enriques thú vị hơn nhiều, theo tôi hiểu hiện đã có những tính toán mới của lý thuyết bất biến Gromov-Witten lên mặt Enriques và mặt dạng tổng quát trong bài của D. Maulik, R. Pandharipande, vượt ra ngoài khuôn khổ đa tạp toric. Trong bài của Witten, Friedman và Donaldson thì phân thớ vector trên phân thớ elliptic (mặt Enriques) được nghiên cứu trong khuôn khổ F-lý thuyết, tuy nhiên những phần này vượt ra ngoài tầm kiến thức, nên tôi không có comment gì.
Mặt Enriques trên trường không đóng đại số cũng là 1 ví dụ cho thấy các vấn đề trên đặc số p (e.g trường hữu hạn) dễ hơn trên đặc số 0 (trường địa phương đặc số trộn). Chẳng hạn trong Grothendieck-Serre correspondence, Serre có nêu lên 1 giả thuyết trên đặc số 0, nhưng đã bị phản bác bởi 1 ví dụ về mặt Enriques. Hy vọng bài này mang lại 1 chút motivation và khí thế cho topic để ta bước chân dũng cảm vào K-lý thuyết.
Ps: M.Artin viết luận án PhD của ông ta dưới sự hướng dẫn của O.Zariski về mặt Enriques. Từ nhiều aspect khác nhau, loại mặt này xuất hiện 1 cách thú vị theo từng cách khác nhau, vì trên 1 đường cong hữu tỷ, thì thớ tổng quát của nó là 1 đường cong elliptic, cũng dễ hiểu là cả hình học lẫn số học aspect của nó sẽ đều thú vị. Nếu có thời gian bàn tán rộng ra thì tôi nghĩ chủ đề về nhóm Shafarevich-Tate của thớ Jacobi cũng như mối liên hệ với giả thuyết BSD cũng rất hay.
thay đổi nội dung bởi: Le Dang Thi NGUYEN, 12-20-2009 lúc 05:35 PM
Bài này tôi bắt đầu với xoắn 1 của mục tiêu các objects sẽ được trình bầy trong topic này, đối đồng điều Galois. Trước hết ta xét 1 nhóm bất kỳ, và là 1 mô đun trên , tức là 1 G-tập hợp: và , cũng như tác động của lên là tuyến tính trên phép cộng.
1 nhận xét đơn giản là cho 1 -mô đun như vậy thì tương đương với việc cho 1 cấu trúc mô đun của trên nhóm vành , được hiểu như là tập tất cả các phần tử có dạng , sao cho tổng lấy trên hữu hạn các phần tử. Tập các phần tử bất biến dưới tác động của được ký hiệu là , dễ thấy nó là 1 mô đun con của .
Bạn sẽ thấy việc tương ứng vào là 1 hàm tử khớp trái, điều này thể hiện 1 cách hình thức thông qua
Cách viết thế này khá phổ biến cho những ai thân quen với đối đồng điều etale, hoặc đại số đồng điều nói chung. Do đó bạn có thể xem đối đồng điều nhóm như là
1 cách mô tả khác cụ tỉ hơn là thông quan đối xích (cochain), với tuỳ ý như trên, ta định nghĩa tập các đối xích bậc như là tập tất cả các ánh xạ từ vào , tuy nhiên sau này nếu ta xét là nhóm topo (chẳng hạn trường hợp nhóm Galois tuyệt đối, thì nó có topo cận hữu hạn) thì ta sẽ chỉ lấy các ánh xạ liên tục.
Đối xích bậc thì không gì khác hơn chính là , bởi tập tất cả các ánh xạ từ 1 phần tử vào thì chính là . Ta định nghĩa ánh xạ đi từ đối xích bậc 0 vào đối xích bậc 1 như sau:
Dễ thấy là đối đồng điều bậc 0 sẽ có giải thích đơn giản là . Cách giải thích này khá ổn với các nhà số học, vì ta thử phân tích 1 ví dụ đơn giản, nếu gọi là 1 đường cong elliptic, và xét nhóm Galois của 1 mở rộng nào đó. Lưu ý là đường cong elliptic có thể xem như là 1 lược đồ nhóm giao hoán, dễ thấy , tức là có vẻ như ta có 1 mối quan hệ giữa điểm hữu tỷ và đối đồng điều Galois.
Để đơn giản, người ta thường viết cho đối đồng điều Galois trong đó là 1 lược đồ nhóm giao hoán bất kỳ. Định lý Hilbert 90 (có thể dùng đối đồng etale chứng minh tổng quát), nói rằng
(Bạn có thể dùng dẫy phổ Leray cho tô- pốt Zariski và tô- pốt étale để chứng minh). Đối đồng điều Galois bậc 2 sẽ có 1 giải thích liên quan đến nhóm Brauer, mà tôi sẽ nói sau.
K-lý thuyết Milnor thì đơn giản hơn K-lý thuyết Quillen, mục đích của số học thì chỉ hướng tới của 1 trường và của vành , nên thường thì chỉ hệ quả rút ra từ các xây dựng của topo đại số là có tính ứng dụng cho topic.
K-lý thuyết Quillen được xây dựng khá phức tạp, bao gồm không gian phân loại và phép xây dựng để từ đó có thể định nghĩa được . Tuy nhiên xây dựng này chỉ là trường hợp riêng của phép xây dựng Q của Quillen trên phạm trù khớp. Quillen xây dựng 1 phạm trù khớp từ 1 phạm trù , sao cho . Trong trường hợp nếu là phạm trù các mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh trên 1 vành thì Quillen chứng minh được nó rút về (hiểu như là 1 H-không gian).
Do khổ chủ của topic không đi vào chi tiết các xây dựng từ phía topo đại số, nên có thể Bảo viết cho khổ chủ của topic 1 bài về K-lý thuyết của Quillen có đầy đủ Q-construction, plus construction, và classifying spaces có được không?
thay đổi nội dung bởi: Le Dang Thi NGUYEN, 12-21-2009 lúc 09:24 PM
K-lý thuyết đại số 
