Witt vector cohomology

**Le Dang Thi NGUYEN** · #1 (**permalink**) 02-02-2010

Lâu rồi không active trên forum do vì bận bịu, cái topic K-lý thuyết cũng chưa phát triển hết, nhưng xin hứa sẽ làm tròn nhiệm vụ.

Khái niệm Witt vector cohomology được Serre dùng đầu tiên, coi như là 1 bước thử nghiệm của p-adic cohomology, nhưng nó vẫn tái xuất hiện lại trong lý thuyết De Rham Witt của Illusie, và được xem là tương đương với lý thuyết crystalline.

Định nghĩa đối đồng điều Witt véc tơ khá đơn giản, với mỗi $\mathcal{O}_X$ -modun $M$ trên topo Zariski của 1 lược đồ định nghĩa trên 1 trường perfect đặc số p, người ta định nghĩa bó $W_n(M)$ là bó các Witt vector có độ dài n. Và lấy giới hạn ngược ta định nghĩa $W(M) = proj-lim \quad W_n(M)$ . Đối đồng điều Witt véc tơ là đối đồng điều Zariski với hệ số trên $W(\mathcal{O}_X)$ .

1 trong những công cụ quan trọng để làm việc với nó là dẫy phổ dốc (slope spectral sequence), tương tự như dẫy phổ Hodge tới De Rham,

$E_1^{p,q} = H^q(X,W \Omega_X^p) \Rightarrow \mathbb{H}(X,W\Omega_X^{\bullet})$

Trong đó vế phải là đối đồng điều hyper của phức

$W\Omega^{\bullet} = \{0 \rightarrow W\mathcal{O}_X \rightarrow W \Omega^1_X \rightarrow \cdots \rightarrow W\Omega^{dim X}_X \rightarrow 0\}$

Do ta xét lược đồ trơn nên vế phải cũng đẳng cấu với $H^{p+q}_{crys}(X/W)$ , đối đồng điều crystalline. Và sau khi ten xơ với $K = Frac(W)$ thì nhận lại được đối đồng điều De Rham đại số.

Dẫy phức trên còn được gọi phức hầu bó (pro-sheaf), cấu trúc của nó còn tồn tại 2 toán tử, gọi là Frobenius và Verschiebung (Đẩy). Cụ thể thì ta có

$V^n: \Omega^i_X \rightarrow W_{n+1}\Omega^i_X$ và $F^n: W_{n+1}\Omega^i_X \rightarrow \Omega^i_X$ , sao cho $FV=VF = p$ , và 1 số điều kiện khác liên quan tới vi phân $d: \Omega^i_X \rightarrow \Omega^{i+1}_X$ .

Verschiebung cảm sinh lên đối đồng điều Witt véc tơ $V: H^i(X,W\mathcal{O}_X) \rightarrow H^i(X,W\mathcal{O}_X)$ , thông qua dẫy khớp ngắn

$0 \rightarrow W\mathcal{O}_X \rightarrow W\mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{O}_X \rightarrow 0$

Tôi đang dealing với câu hỏi khi nào thì V sẽ là toàn ánh, trong trường hợp ta chưa có thông tin gì về đối đồng điều của bó cấu trúc. Hy vọng có ai đó cũng đang quan tâm.

**Le Dang Thi NGUYEN** · #2 (**permalink**) 02-04-2010

..........

**dante** · #3 (**permalink**) 02-06-2010

Hi bác Thi,
Hôm trước em có ghé qua đây nhưng chưa kịp trả lời bác. Em sẽ gửi lời đến bác Jun Li, bác ý là trong committee area exam của em. Còn anh kia thì em không nhớ tên.