11-11-2011
|
 | Member | | Tham gia ngày: Jun 2009
Bài gởi: 67
Thanks: 17 Thanked 20 Times in 14 Posts Downloads: 0 Uploads: 0 | |
 Ðề: Vật lý kết hơp tài chính
Mọi người ai chắc cũng đang bận với research của mình nên có vẻ không hào hứng lắm với tôpic này. Thôi thì mình tiếp tục trong lúc chời đợi chị VNC !
như mình đã nói ở phần trước, công thức của Black-Scholes (BS) không thể capture hết financial market vì hai ông giả sử volatility là constant most of the time. Vậy một trong các ý tưởng để khắc phục hạn chế của mô hình này là bằng cách thây chuyển động Brown bằng quá trình tổng quát hơn. Dù BS formular ra đời tử năm 1973 nhưng trước đó khoảng 30 năm, nhà toán học người Pháp Paul Levy invented cái sau này gọi là Levy process - để khắc phục điểm yếu này. (Mở ngoặc nói thêm một chút là những người làm maths finance bên Pháp kiến thức cơ của họ cực strong- great background nên họ rất giỏi về phần theoretical. Nói như vậy không có nghĩa là họ không xuất xắc về applied financial maths. Nên nói thật là nếu mình làm theoretical khó có thế qua nổi họ). Sau này cùng với nhà toán học Nga A.N. Khintchine và Ito đã đưa phát lý thuyết các quá trình ngâu nhiên phát triển như ngày nay.
Vậy quá trình Levy là gì ?
Nếu quá trình ngẫu nhiên _{t\geq 0} ) có giá trị trong  - ở đây có thể là các không gian Euclidean hữu hạn chiều, các không gian Hilbert hay xa hơn nữa là các Lie groups (i.e nếu ta cố định một phần tử  thì ) là một biến ngẫu nhiên)thoả mãn các điều kiện sau đây :
(i)  has independent and stationary increments
(ii) (i.e, X luôn xuất phát tử gốc toạ độ)
(iii) is stochastically continuous , i.e là -X_s(\omega)|>\epsilon)=0) for all 
ở trên "independent increment" có thế hiều như sau nếu có  thì các biến ngẫu nhiên , X_{t_{1}}(\omega)-X_{t_{0}}(\omega),\ldots, X_{t_{n}}(\omega)- X_{t_{n-1}}(\omega) ) lá các biến độc lập ngẫu nhiên
Như vậy câu hỏi tiếp theo là đặc trưng của các quá trình Levy là gì? làm sao để biết đước một quá trình là Levy ? Điều này cũng giống như chúng ta có hai states trong physics --> làm sao để biết là hai states này là một ?
Như ta đã biêt là các quá trình ngẫu nhiên được xác đinh duy nhất qua các hàm đăc trưng = E[e^{i u.X_t} ]) của nó, ở đây  là tích trong trong không gian  . Thật ra khi làm các ứng dụng thông thường là  . Để trả lời cho câu hỏi trên, thì Levy và Khintchine đưa ra đính lí sau để mô tả toàn bộ cac quá trình Levy
Định lý \subset \mathbb{R}^{d}) là một quá trình Levy nếu và chỉ nếu =e^{t\eta(u)} ) trong đó
= i b.u -\frac{1}{2} u.au+\displacestyle\int_{\mathbb{R}^{d} - \{0\}}[ e^{iu.y} -1-iu.y\mathbb{I}_{||y||<1}(y) ]\nu(dy) )
 là ma trận không âm-xác đinh dương. Hơn nữa ta cần có  ]\nu(dy)<\infty) và  là một độ đo Borel.
Ví dụ :
1) Các quá trình Brown là Levy
2) Relativistic process : Nếu ta coi một vật khối lượng  chuyển động với xung lượng  , thì ta biết là, năng lượng của hạt bằng
 =\sqrt{m^2c^2+c^2|p|^2} - mc^2 ) , nên nếu ta đặt = -E(u)) thì ta có một quá trình Levy.
Quay lại với Blach-Scholes fomular: hai ông giả sử là stock price  biến đối theo Geometric Brownian motion, i.e
t +\sigma_t W_t ) )
trong đó  là quá trình Brown.
Có một bái toán nhỏ cho bạn nào quan tâm: tìm hiểu công thức Blach-Scholes nếu ta thây chuyển động Brown ở trên bằng quá trình Levy ?
Vậy quá trình Levy có liên quan gì đến các nhóm lượng tử trong vật lý? Để trả lời câu hỏi này thì chúng ta sẽ hỏi là làm sao định nghĩa các quá trình Levy trên các nhóm chẳng hạn như các nhóm Abel compact địa phương, các Lie group ?
Tạm thế đã - mời các bạn vật ly vào tham gia cho vui.
PS. thanks seeking for correction !
thay đổi nội dung bởi: Nameless, 11-11-2011 lúc 10:26 PM |
