Bà con gần xa đã biết có blog của anh Đàm Thanh Sơn, nhưng tôi vẫn cứ post lên diễn đàn, để tạo ra cái gọi là hiệu ứng Domino, tình cờ ai đó ngang qua đây mà chưa biết thông tin thì có thể link từ đây đến đó.
[Only registered and activated users can see links. ]
Chúng tôi vừa nhận được sự đồng ý của GS Đàm Thanh Sơn và chúng tôi sẽ copy các bài viết trong blog và để link trên forum đến blog của Giáo Sư.
Chào mừng Hòa Thượng Thích Học Toán: Chương trình Langlands và Vật lý
December 15, 2009 · Leave a Comment
Bài này tôi viết nhân dịp thành tựu của Hòa Thượng Thích Học Toán được báo Time đưa vào 1 trong 10 sự kiện khoa học quan trọng nhất của năm 2009. Tôi thực ra không biết gì lắm về chương trình Langlands, hay quan hệ của nó với Vật lý, nhưng sự kiện này làm tôi quyết định mạnh dạn viết ra những gì mình biết, ở trình độ khoa học thường thức thôi, coi như một món quà nhỏ gửi tặng Hòa Thượng. Bạn đọc sẽ thấy đoạn cuối hơi bị “cụt”. Đầu đề bài viết đáng lẽ phải khiêm tốn hơn, nhưng thôi cứ để thế để lôi kéo bạn đọc gần xa.
Trước hết, chúng ta nhắc lại một số thức phổ thông về tương tác điện từ.
Chắc ai cũng nhớ định luật Coulomb: hai điện tích e_1 và e_2 tương tác với nhau bằng lực
F = e_1 e_2/r^2
Nếu e_1 va e_2 cùng dấu thì đây là lực đẩy, còn nếu e_1 và e_2 ngược dấu thì nó là lực hút. Ta sẽ viết công thức này theo một cách khác. Do công (tức là năng lượng) = lực \times quãng đường, thế năng giữa hai hạt đó bằng:
U = e_1 e_2/r
Bây giờ giả sử ta giam hai hạt có điện tích e ở trong một cái hộp có kích thước mỗi chiều là r.
[Only registered and activated users can see links. ]
Theo công thức trên thế năng của hai hạt là khoảng e^2/r. Động năng thì là bao nhiêu? Theo lý thuyết lượng tử, khi một hạt bị giam vào một cái hộp như vậy, thì nó không thể nào đứng yên. Nguyên lý bất định của Heisenberg cho biết là xung lượng p của hạt này phải lớn hơn \hbar/r, trong đó \hbar là hằng số Planck: p> \hbar/r.
Một hạt có xung lượng thì phải có năng lượng. Theo quan điểm của thuyết tương đối thì năng lượng và xung lượng được hợp nhất thành một vectơ 4 chiều: (E, cp), trong đó c là tốc độ ánh sáng. Không gian này là không gian Minkowski, ở đó độ dài của véctơ đó là (E^2 -(cp)^2)^{1/2} (chú ý dấu trừ!). Một hạt có khối lượng là m thì độ dài của véctơ này là mc^2:
E^2-(cp)^2 = m^2c^4
Giả sử kích thước của hộp r rất nhỏ, khi đó p lớn hơn nhiều mc, và E\approx cp.
Như vậy nếu ta có hai hạt bị giam vào một hộp kích thước r, động năng của chúng ít nhất sẽ là \hbar c/r, và thế năng là e^2/r. Tỷ lệ (thế năng)/(động năng) bằng e^2/(\hbar c), không phụ thuộc và kích thước của hộp. Thay thế giá trị của e, \hbar, c trong tự nhiên vào, con số này bằng 1/137 (chính xác hơn là 1/137.036) Thế năng nhỏ hơn động năng khoảng 100 lần. Đây là một hằng số cơ bản của tự nhiên, vì lý do lịch sử, nó được gọi là “hằng số cấu trúc tinh tế”. Hầu như tất cả mọi thứ quanh ta (kể cả hóa học, sinh vật học) đều phụ thuộc vào hằng số này. Ví dụ ta có khoảng 100 nguyên tố hóa học trong bảng tuần hoàn chính là do nghịch đảo của hằng số này bằng khoảng 100.
Tuy thế trong tự nhiên có một điểm rất lạ mà không ai giải thích được: đó là điện tích của tất cả các hạt đều bằng một số nguyên nhân cho điện tích cơ bản. Điện tích cơ bản là 1/3 điện tích electron. Các hạt quark có thể có điện tích 2 lần hay 1 lần điện tích cơ bản nhưng không có hạt nào có điện tích, ví dụ, bằng 1/4 hay \pi lần điện tích của electron.
Tại sao lại như vậy? Năm 1931 Paul Dirac đưa ra một lời giải thích hết sức đặc sắc. Ông ta giả thiết thế giới không những chỉ có điện tích, mà có cả “từ tích”. Từ tích, hay còn gọi là đơn cực từ, là nguồn của từ trường. Bình thường một nam châm bao giờ cũng có cực bắc và cực nam. [Only registered and activated users can see links. ]
Ta cứ tưởng tượng có thể tách hai cực của nam châm ra khỏi nhau, thì hai phần đó là hai đơn cực từ. Đơn cực từ chỉ mang một cực, hoặc là bắc, hoặc là nam, cũng như điện tích có thể dương, có thể âm.
[Only registered and activated users can see links. ]
Ta sẽ bàn việc đơn cực từ có tồn tại thật trong vũ trụ không sau đây một chút.
Hai đơn cực từ cũng tương tác với nhau giống như định luât Coulomb, nhưng ta thay điện tích bằng từ tích: F=m_1 m_2/r^2. Nhưng Dỉrac tìm ra là khi ta lấy một cặp bất kỳ bao gồm một điện tích e và một từ tích m, cơ học lượng tử đòi hỏi tích của e và m phải là một số nguyên lần \hbar c/2:
e m = \frac n2 \hbar c, \qquad n\in \mathbb{Z}
Như vậy chỉ cần trong vũ trụ có một từ tích có giá trị bằng m, thì tất cả các điện tích phải là bội của \hbar c/2m. Điều này giải thích tại sao các điện tích phải là bội của một điện tích cơ bản. Ngược lại, nếu e là điện tích nhỏ nhất trong thiên nhiên, thì tất cả các từ tích phải là bội của \hbar c/2e.
Lời giải thích này của Dỉrac hết sức thông minh, nhưng cho đến nay ta vẫn chưa tìm thấy từ tích nào trong vũ trụ. Cũng có thể chúng rất nặng, nên các máy gia tốc chưa tạo ra được chúng.
Nhưng trên giấy các nhà vật lý lý thuyết có thể “sáng tạo” ra những thế giới mới trong đó có cả điện tích lẫn từ tích. Một trong những thế giới này gọi là “N=4 supersymmetric Yang-Mills theory” (N=4 SYM), một lý thuyết trường có nhiều tính chất lý thú. Một trong những tính chất này được các nhà vật lý gọi là “đối ngẫu”: người ta nghĩ rằng N=4 SYM với điện tích cơ bản e và từ tích cơ bản bằng m có thể biến đổi thành N=4 SYM với điện tích cơ bản m, từ tích cơ bản e, bằng một phép đổi biến. Đối ngẫu này trong vật lý được gọi là đối ngẫu điện từ, hay đối ngẫu Montonen-Olive, hay đối ngẫu S. Nó là một giả thuyết chưa ai chứng minh được chặt chẽ, mặc dù có nhiều lý do để ta tin nó là đúng.
Theo lời kể của Edward Witten thì năm 2004, sau khi nghe Ben-Zvi, ông ta đã hiểu rằng đối ngẫu Montonen-Olive này có liên quan đến đối ngẫu Langlands hình học. Sau đó Kapustin và Witten viết một bài báo dài hơn 200 trang giải thích sự liên quan này. Tất cả những điều này tôi chỉ biết rất lờ mờ thôi, nhưng có vẻ chương trình Langlands có liên hệ mật thiết với một số tính chất cơ bản, và còn phần nào bí hiểm, của một số lý thuyết trường. Kapustin và Witten viết: “the geometric Langlands program for complex surfaces… can be understood as a chapter in quantum field theory.”
Xin cáo lỗi các bạn vì trình độ còn kém nên không thể giải thích công trình của Kapustin và Witten chi tiết hơn được. Hy vọng đến một lúc nào đó tôi sẽ hiểu tốt hơn. Có thể trong tương lai công trình của Hòa Thượng sẽ nằm trong cơ sở của các sách giáo khoa vật lý!
Một lần nữa xin chúc mừng Hòa Thượng Thích Học Toán!
Mặc dù lãnh vực nghiên cứu của tôi không phải là lý thuyết dây, nhưng cũng có liên quan ít nhiều tới nó, cho nên tiếp theo đây, tôi sẽ theo chân anh Đàm Thanh Sơn viết về Đối xứng gương, mặc dù tôi chỉ quan tâm ở trên mức độ topological level. Đối xúng gương, khi được perform trên các hitchin fibration thì lại chính là đối ngẫu Langland.....
Rất mong được mọi người giúp sức.*
Cái WB nói thấy có trong 1 bài Seminar Bourbaki của Frenkel (UCB) Gauge theory and Langlands duality (avail ở ArXiv). Hay là WB giải thích sơ qua về cái paper mang tính survey này cho anh em cùng học hỏi thêm. Hiển nhiên vì là bài mang tính survey nên nó cũng bao quát rộng, WB có thể chỉ viết lại trình bầy về chương 5 Mirror symmetry of Hitchin moduli spaces chẳng hạn, có thể lược bỏ bớt vài phần phụ, chẳng hạn phần cuối của chương 5 về trường hợp không phân nhánh của tương ứng Langlands hình học thì có thể bỏ qua. Tập trung vào 1 số tính chất hết sức cơ bản, chẳng hạn trường Higgs, phân thớ Higgs, làm rõ khái niệm Hitchin fibration, rồi mới từ từ tới đối xứng gương đồng điều...
Tiếp theo rồi mới tới mối quan hệ giữa tương ứng Langlands hình học (biến đổi Fourier) và đối xứng gương đồng điều giữa model A,B... của Kapustin-Witten (Trang 18 bài Frenkel). Nếu càng tỉ mỉ cụ thể càng tốt, vì nói chung ngoài WB làm trong lãnh vực có liên quan đến đối xứng gương này thì chả còn ai trên diễn đàn cả.
Em đọc trong bài của Witten (trích trong bài của anh Sơn), thấy nói đại khái là electric branes (eigenbranes của Wilson operators?) dễ xây dựng, ví dụ như lấy skyscraper sheaf của một điểm trong không gian moduli các local system. Một phần trong chương trình Langlands hình học không phân nhánh là nhằm xây dựng (ít nhất là đủ nhiều) các Hecke eigensheaf (là một số D-module đặc biệt trên ), một kiểu categorification của Hecke eigenform. Trong bài của Witten, Hecke eigensheaf được gọi là magnetic eigenbrane, và cách xây dựng được nêu ra là dùng đối ngẫu điện từ.
Tuy nhiên theo em biết thì trong quyển Beilinson-Drinfeld "Quantization of Hitchin integrable system", người ta chỉ xây dựng được Hecke eigensheaf với một số local system, nằm trong quỹ tích họ gọi là oper. Hơn nữa, em nghe bạn em (học trò của Gaitsgory) nói là cách xây dựng Hecke eigensheaf có vấn đề ở chỗ khó xác định được kết quả có khác không hay không. Không hiểu là cách tiếp cận của Kapustin-Witten có khắc phục được mấy điểm này không? Cảm giác của em là Witten chỉ diễn đạt lại theo ngôn ngữ vật lý (em chưa đọc bài của Kapustin-Witten nên không khẳng định gì cả).
Em không làm về cái này, nhưng nghe thấy vui vui (chắc là tại nghe mấy từ vật lý không hiểu gì) nên tò mò vài câu thế thôi. Nếu ai đọc Kapustin-Witten rồi mà viết một summary thì tốt quá.
Tôi sẽ bắt đầu trước. Vì đây là một paper dài 200 trang và rất khó, liên quan tới hầu hết các kiến thức khó nhất của toán học và vật lý hiện đại, nên khó ai có thể nói mình hiểu hết nó. Tôi tin rằng trên thế giới số người thực sự hiểu nó rất ít, chỉ khoảng 100 là nhiều. Chắc hiểu nhất là witten
Trước hết, để bắt đầu, tôi sẽ nói qua các ý tưởng chính của bài báo này. Đầu tiên, xuất phát từ lý thuyết YangMill siêu đối xứng trong trường hợp 10 chiều, ta chọn 6 chiều thành 6 constant fields để thu được một SUSY Yang Mil theory 4 chiều.
Đến trường hợp này, một kỹ thuật rất thú vị được sử dụng, đó là twist các lý thuyét này để nhận được một họ các lý thuyết trường lượng tử topo 4 chiều. Ý tưởng này thì ko mới, mà xuất phát từ tầmn những năm 1988_1990, khi Witten twist lý thuyết N=2 SUSY Yang Mill để nhận được TQFT và bất biến Donalson và Jones polynomial. Sau khi được twist các spin(4) trong Spin(4).spin(6), ta thu được một toán tử Q tác động lên không gian các trường, và thoả mãn Q²=0. Lấy đối đồng điều của toán tử này, ta thu được một TQFT. Điều này cũng giải thích tại sao người ta gọi TQFT của Witten là cohomological QFT.
Thú thực, tôi cũng bị tắc khi đọc paper này ở phần twisting, cho đến khi phát hiện ra ý tưởng khởi thuỷ. Việc twist các lý thuyết này tương ứng với việc nhúng Spin(4)=SU(2).SU(2) vào Spin(4).Spin(6) như là đồ thị của một đồng cấu su(2).su(2) vào su(4) như là một ma trận block và không gian moduli của việc nhúng này đẳng cấu với CP(1).
(u.su(2) 0 )
(0 v.su(2) )
Và ty lệ u/v tham số hoá họ các TQFT này.
Sau giai đoạn này, ta nghiên cứu dáng điệu của S-dualitty dưới quá trình twisting.
Blog anh Đàm Thanh Sơn 
