Trong vật lý lý thuyết, một trong những cách để xây dựng một lý thuyết trường lượng tử siêu đối xứng (SUSY QFT) là sử dụng một mô hình sigma 2 chiều với đa tạp mục tiêu là đa tạp Calibi-Yau 3 chiều phức. Khi ta thay đổi các đa tạp mục tiêu này thì nói chung ta sẽ có các lý thuyết trường lượng tử khác nhau, và do đó các Vật lý khác nhau. Hệ quả, sự hiểu biết về hình học của các đa tạp Calabi-Yau sẽ dẫn tới sự hiểu biết về các môt hình vật lý tương ứng, nói riêng là lý thuyết siêu dây (Super String theory).

Tuy nhiên, có những đa tạp Calibi Yau khác nhau nhưng nó dẫn tới cùng một vật lý và do đó việc hiểu biết về một đa tạp Calabi cùng vật lý tương ứng có thể được dịch sang sự hiểu biết về một đa tạp Calabi khác. Những đa tạp Calabi-Yau này tồn tại thành từng cặp và người ta gọi đó là đối xứng gương.
Hiểu biết của nhân loại về lãnh vực này vẫn còn rất hạn chế. Rất nhiều kỹ thuật khi được hiểu ở bên này của đối xứng gương khi được dịch sang phía bên kia dẫn tới những khía cạnh hoàn toàn bất ngờ. Có thể nói, đối xứng gương là một trong những cutting edge trong vật lý lý thuyết hiện đại và toán học lý thuyết hiện nay.
Bởi vì hiểu biết của tôi về lý thuyết trường lượng tử bảo giác siêu đối xứng còn rất hạn chế, tôi sẽ cố gắng giải thích khái niệm đối xứng gương theo cách hiểu của tôi.
Trong bài viết nổi tiếng bởi Andrew Strominger, Shing-Tung Yau, Eric Zaslow: Mirror Symmetry is T-Duality các tác giả này đã chứng minh được rằng, mọi đa tạp Calabi-Yau là một phân thớ xuyến Largrangian,. Hiểu một cách đơn giản, mỗi điểm của một không gian là một hình xuyến 3 chiều. Nếu như các xuyến là không có kỳ dị, thì ảnh gương của một đa tạp Calabi không phải là gì khác chính là không gian moduli các U(1) connection trên các xuyến này. Trong hầu hết các trường hợp, đây chính là một phân thớ có cùng nền, và các hình xuyến ở đây chính là các xuyến đối ngẫu.

Tôi muốn so sánh liên hệ này đối với chương trình Langland hình học. Người ta chứng minh được rằng, không gian Moduli của các G-bundle với một flat connection có dạng một phân thớ xuyến, còn gọi là Hitchin Fibration. Trong chương trình Langland, khi ta lấy đối ngẫu Langland của nhóm gauge thì Hitchin Fibration sẽ là phân thớ xuyến đối ngẫu tương ứng.
A. Kapustin & E. Witten Electric-Magnetic Duality And the Geometric Langlands Program hep-th/0604151.

[Only registered and activated users can see links. ]
Đây là hình ảnh của D-brane

Một trong những ứng dụng toán học trực tiếp của lý thuyết là đối ngẫu giữa hai phạm trù của các D-Branes, tức là phạm trù các điều kiện biên của đầu mút của các string moving on spacetime.
Phạm trù đầu tiên còn gọi là B-Model là derived Category của các Coherent sheaves trên đa tạp Calabi. Một cách đơn giản, nó là phạm trù dẻrived sinh bởi các vector bundle, và nó được phân loại như là hình học đại số/hình học phức.

Phạm trù thứ hai, còn gọi là A-model là Fukaya Category của các đa tạp Calabi, đuợc xem như là một đa tạp symplectic. Đối tượng của nó là các đa tạp con Largrangian đặc biệt kèm theo một local system. Các phép toán của nó được tạo thành nhờ việc đếm các đường cong nửa chỉnh hình có biên nằm trên các đa tạp con Largrangian này. Vì vậy, có thể nói đơn giản A-model chính là bất biến Gromov-Witten

Giả thuyết gương khẳng định sự đẳng cấu của các lý thuyết tương ứng của các đa tạp đối xứng gương với nhau, và được gọi là hình học gương đồng điều của [Only registered and activated users can see links. ]. Trong hình học enumerative, việc đếm các đường cong giả chỉnh hình (bất biến gromov-Witten) thường gặp khó khăn và việc chuyển sang đa tạp đối ngẫu có thể tạo ra một insight mới.
Tôi sẽ viết tổng quan về lãnh vực này trong các bài viết tới.

Một số tài liệu tham khảo:
P. Aspinwall, D-Branes on Calabi-Yau Manifolds,hep-th/0403166,
Quan hệ giữa đối xứng gương và chương trình Langland hình học có thể xem tại:
Tamas Hausel, Michael Thaddeus Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system math/0205236 .
Maxim Kontsevich, Yan Soibelman
Homological mirror symmetry and torus fibrations
math.SG/0011041,
Một trong những tài liệu tốt nhập môn về lãnh vực này là:
Anton Kapustin, Dmitri Orlov:Lectures on Mirror Symmetry, Derived Categories, and D-branes

Whitebear

Source: [Only registered and activated users can see links. ]

__________________
Happy are those who dream dreams and are ready to pay the price to make them come true
To view links or images in signatures your post count must be 10 or greater. You currently have 0 posts.